Forum Marinearchiv

Liebe Freunde der Modell-Dampfturbine,
ich bin sehr überrascht, welches Interesse weiterhin meine alten Beiträge finden. Wie könnte es sonst sein, dass mich nach wie vor Anfragen hierzu erreichen.
Ich akzeptiere die Gründe, warum solche Fragen nicht im Forum gestellt werden. Ich habe mir aber zur Gewohnheit gemacht, die Antworten zu den interessantesten Fragen mit Zustimmung der Fragesteller ins Forum zu stellen.

Hier die Antwort zu der, etwas komplexeren Frage: ,,Wie ermittelt man die Dampfgeschwindigkeiten an den Schaufeln eines Turbinenrades, wie zeichnet man einen Geschwindigkeitsplan und welche Informationen kann man ihm entnehmen?"
Wir begeben uns damit bereits recht weit auf das Gebiet der Dampfturbinen-Berechnung und der für sie geltenden Gesetze der Wärme- sowie der Strömungslehre. Es würde mich also nicht wundern, wenn dieses Thema nur einen sehr kleinen Kreis von Lesern findet. Ich werde mich jedoch bemühen, die Antwort so allgemeinverständlich, wie möglich zu formulieren.

Ich möchte zu Beginn auf die Erläuterungen in Antwort #1 dieses Beitrages vom 19.08.2010 mit dem zugehörigen Bild ,,Geschwindigkeiten und Winkel am Schaufeleintritt", sowie auf die Antwort #16 vom 25.08.2010 hinweisen.

Ausgangspunkt ist hiernach immer der Dampf und sein verfügbares Wärmegefälle, sprich seine Arbeitsfähigkeit.
Das Wärmegefälle des Dampfes wird in kcal/kg oder kJ/kg angegeben und besagt, wie viel nutzbare Wärmeenergie ein Kilogramm dieses Dampfes beinhaltet. Wir bleiben der Einfachheit halber weiter bei der alten Bezeichnung kcal (Kilokalorie).
Wir wissen, dass eine Energieform in eine andere übergehen oder umgewandelt werden kann.
Bei der Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit gilt:  1kcal = 427 kgm.
Man spricht hier auch vom mechanischen Wärmäquivalent.
Damit wollen wir es mit der Theorie aber auch wieder auf sich beruhen lassen und zur praktischen Anwendung kommen

In der Dampfturbine nutzen wir bekanntlich im Gegensatz zur Dampfmaschine nicht den Druck (ruhende Energie), sondern die Geschwindigkeit des Dampfes (Bewegungsenergie). Hierzu entspannen wir den Dampf in einer Düse. Die dabei frei werdende Energie beschleunigt den Dampf auf eine bestimmte Geschwindigkeit.
Nun müssen wir noch wissen, wie man den Wärmeinhalt i des Dampfes, bzw. das für die Berechnungen wichtige Wärmegefälle h ermittelt und in welcher Beziehung es zur Dampfgeschwindigkeit c₀ steht.
Das Wärmegefälle h entnimmt man Einfachsten dem Mollier- oder h-s-Diagramm. Seht hierzu ebenfalls  Antwort #16 vom 25.08.2010.
Hier findest ihr auch die entsprechende Zahlenwertgleichung:   c₀ (m/s) = 91,5 ∙ √ h (kcal/kg).

Ich darf noch einmal daran erinnern, dass es sich bei den Druckangaben im h-s-Diagramm um absoluten Druck (at_a) handelt; sie beziehen sich nicht  auf den Umgebungsdruck, sondern auf das absolute Vakuum. Der Umgebungsdruck beträgt demnach etwa 1 at_a ≈ 1 bar_a.
Bei der Ermittlung des Wärmegefälles gehen wir Einfacherweise von Sattdampf, also vom absoluten Dampfdruck (Druck am Kesselmanometer plus 1 at) an der Sättigungslinie aus (...stark gezeichnet!)  und zeichnen bei Auspuffbetrieb eine Senkrechte zum Umgebungsdruck (1at_a-Linie).
Mit einem Zirkel greifen wir die Länge dieser Senkrechten ab und entnehmen den Wert des  Wärmegefälles dem abgedruckten Maßstab im h-s-Diagramm. Meistens kann man die Dampfgeschwindigkeit c₀ in m/s ebenfalls direkt dem Maßstab entnehmen (Bild 3 unten) oder aber man errechnet sie mit obiger Gleichung.

Übrigens: Lesern, die sich dafür interessieren, wie sich der Zahlenwert 91,5 zusammensetzt, sei gesagt, dass ähnlich einem Wasserfall, die ,,Fall" - Geschwindigkeit von der Höhe h und der doppelten Erdbeschleunigung g (9,81 m/s²) abhängt. Allerdings wird das Wärmegefälle nicht in m, sondern in kcal/kg angegeben. Wir müssen zur Umrechnung also das mechanische Wärmeäquivalent (427 kgm/kcal) einsetzen.
Danach ergibt sich:  91,5 = √ (2 • 9,81 • 427).

Nun wissen wir, dass die Umwandlung von Energie nie ohne Verluste geschieht. Das gilt auch in einer Düse bei der Umwandlung von ruhender Energie in Form von Druck in Bewegungsenergie in Form von Geschwindigkeit. An den Wänden des Düsenkanals, aber auch im Dampf selbst, entstehen Verluste durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen.
Im Modellbau kann man von etwa 10%, bei besonders hochwertiger Ausführung (Polieren) ggf. von 8% Düsenverlust ausgehen.
Das heißt: Die theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀ mindert sich um die Düsenverluste zur tatsächlichen Dampfgeschwindigkeit c₁ am Düsenausgang.
Damit haben wir einen wichtigen Ausgangswert zur Erstellung eines Geschwindigkeitsplanes ermittelt.

Ein weiterer wichtiger Faktor ist die Umfangsgeschwindigkeit u des Turbinen-Laufrades.
Wir wissen aus den verschiedenen Beiträgen zu Dampfturbinen, dass das Verhältnis der Umfangsgeschwindigkeit u zur Dampfgeschwindigkeit c₁ großen Einfluss auf den Wirkungsgrad η (Eta) und somit auf die Leistung der Turbine und ihren Dampfverbrauch hat.
Bei einer einstufigen Gleichdruckturbine wird der höchste Wirkungsgrad bei einem Verhältnis u/c₁ = 0,5 erreicht.
Das ist vielleicht am einfachsten so zu erklären:
Ist die Umfangsgeschwindigkeit u gleich der Dampfgeschwindigkeit c₁, also u/c₁ = 1, kann der Dampf keine Kraft auf das Rad ausüben, der Wirkungsgrad ist 0. Das gilt auch bei stehendem Rad mit u = 0, entsprechend u/c₁ = 0. Die Kurve des Wirkungsgrades η_u in Abhängigkeit vom Verhältnis u/c₁ hat zwischen 1 und 0 die Form einer Parabel, deren Scheitelpunkt bei u/c₁ = 0,5 liegt. Ein Verhältnis u/c₁ > 1 ist unrealistisch; die Umfangsgeschwindigkeit u kann nicht größer werden, als die Dampfgeschwindigkeit c₁.

Die, physikalisch bedingt, noch immer recht hohen Dampfgeschwindigkeiten im Modellbau und die vergleichsweise geringen Abmessungen einer Modell-Dampfturbine erfordern allerdings Abstriche und Kompromisse hinsichtlich des erzielbaren Wirkungsgrades.

Auch der Düsenwinkel α₁ (Alpha) hat einen gewissen Einfluss auf den Wirkungsgrad; er hat in der Praxis Werte zwischen etwa  14⁰ und 30⁰.
Bei den einstufigen Turbinen wählt man eher kleinere und bei den mehrstufigen etwas größere Düsenwinkel.

Wie man die Umfangsgeschwindigkeit u des Rades ermittelt, werde ich kurz in Erinnerung rufen.
Wir errechnen zu erst den Umfang U (m,...in Metern!) aus dem Raddurchmesser d (m):     U (m) = d (m) • π (Pi).
Die Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute (1/min) teilen wir durch 60 und erhalten die Drehzahl in Umdrehungen pro Sekunde (1/s). Wir multiplizieren die Drehzahl (1/s) mit dem Umfang (m) und erhalten die Umfangsgeschwindigkeit u (m/s).
Hier noch mal als Gleichung: u (m/s) = (n (1/min) : 60) • U (m).

Die Dampfgeschwindigkeit c₁ und die Umfangsgeschwindigkeit u wirken an der Schaufelkante in verschiedene Richtungen und ergeben zusammen die relative Dampfgeschwindigkeit w₁ (...im Bild 1, orange). Der Dampf bekommt eine neue Richtung, den Dampf- bzw. Schaufel-Eintrittswinkel β₁ (Beta). Aber auch der, aus der Schaufel austretende Dampf bekommt durch das Zusammenwirken mit der Umfangsgeschwindigkeit u eine neue Richtung, den Dampf-Austrittswinkel α₂ mit der Austrittgeschwindigkeit c₂. Ich habe zum besseren Verständnis das bekannte Bild ,,Geschwindigkeiten und Winkel..." um die Austrittsseite ergänzt (Bild 1).

Zur Ermittlung der Dampfgeschwindigkeiten und deren Winkel, benutzen wir die Parallelogramme der Geschwindigkeiten (Bild 2, oben). Einige von Euch werden sich dabei an die Kräfte-Parallelogramme aus dem Physikunterricht erinnern.
Aus Gründen der Vereinfachung und der Übersichtlichkeit zeichnet man aber nicht vollständige Parallelogramme mit Schaufeln, sondern nur die Geschwindigkeitsdreiecke mit ihren Werten. Es ist auch nicht mehr üblich die Geschwindigkeitsdreiecke der Eintritts- und der Austrittsseite übereinander zu zeichnen, sondern man zeichnet sie nebeneinander (Bild 3).
Man benutzt zur Darstellung der Geschwindigkeiten einen geeigneten Maßstab. Wegen der Ablesegenauigkeit sollte er im Modellbau nicht kleiner als 0,25 mm für 1 m/s sein (100 mm entsprechen demnach 400 m/s).
Am Schnittpunkt einer Waagerechten als Rad-Ebene und einer Senkrechten als Achs-Ebene, trägt man in entsprechenden Längen und Winkeln die Geschwindigkeiten für den Schaufeleintritt und den Schaufelaustritt an. Bei mehrstufigen Turbinen wird für jede Stufe eine Rad-Ebene gezeichnet (Bild 3, oben).

Wir wählen also einen Düsenwinkel α₁ und ziehen unter diesem Winkel eine Linie von rechts oben nach links unten durch den Schnittpunkt von Rad- und Achs-Ebene. Im gewählten Maßstab tragen wir auf dieser Linie den Wert für die Düsenaustritt-Geschwindigkeit c₁ vom Schnittpunkt nach links ab. Am Ende der Strecke von c₁ zeichnen wir parallel zur Radebene den Wert für die Umfangsgeschwindigkeit u nach rechts. Wir verbinden das freie Ende der Strecke u mit dem Schnittpunkt und erhalten die relative Dampfgeschwindigkeit w₁ und den Schaufel-Eintrittswinkel β₁. Wir messen den Winkel  β₁ und ermitteln den Wert von w₁ durch Messen und Umrechnen der Strecke.

Wir wählen den Schaufel-Austrittswinkel β₂ (...bei symmetrischen Schaufeln β₂ = β₁) und zeichnen unter diesem Winkel eine Linie durch den Schnittpunkt nach rechts.

Beim Durchströmen der Schaufeln entstehen ebenfalls Energieverluste durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen; sie sind im hohen Maße von den Schaufelwinkeln abhängig und sind umso größer, je stärker die Umlenkung ist, also die Schaufel gekrümmt ist. Auch die Qualität des Schaufelkanals spielt eine Rolle. Diese so genannten Schaufelverluste werden durch den Verlustbeiwert ψ (Psi) dargestellt.
Der Schaufel-Verlustbeiwert ψ beträgt etwa 0,8 bei einem Schaufelwinkel-Mittelwert von 20⁰ und etwa 0,9 bei 40⁰ (Zwischenwerte interpolieren!). Bei besonders hochwertiger Ausführung der Schaufelkanäle ist er ggf. auch um 0,05 besser. 
Der Schaufelwinkel-Mittelwert ergibt sich aus:  (β₁ + β₂) : 2 

Den Wert der relativen Austritts-Geschwindigkeit w₂ erhalten wir demnach durch Multiplikation der relativen Dampfgeschwindigkeit w₁ mit dem Verlustbeiwert ψ.  Wiederum als Gleichung: w₂ = w₁ • ψ.
Wir tragen die Strecke w₂ vom Schnittpunkt auf der Linie nach rechts ab. Am Ende der Strecke  w₂ wird die Strecke u parallel zur Rad-Ebene nach links angelegt. Wir verbinden wieder das freie Ende von u mit dem Schnittpunkt und erhalten die Dampf-Austrittsgeschwindigkeit c₂ und den Dampf-Austrittswinkel α₂.

Bei einstufigen Modell-Dampfturbinen ist in der Regel die Austrittsgeschwindigkeit c₂ noch recht hoch. Man wird also ggf. versuchen, diese Bewegungsenergie des Dampfes in einer weiteren Stufe auszunutzen. Hierzu wird dieser Dampf in feststehenden Leitschaufeln umgelenkt und einem weiteren Lauf-Schaufelkranz oder bei Verwendung einer Leitkammer dem ersten Schaufelkranz wiederholt zugeführt (in Bild 2 unten, als Umlenkung bezeichnet). Für die Leitschaufeln und Leitkammern wird wiederum der Schaufel-Verlustbeiwert ψ ermittelt. Wir multiplizieren die Austrittsgeschwindigkeit c₂ der ersten Stufe mit diesem Verlustbeiwert ψ und erhalten die Dampf-Eintrittsgeschwindigkeit c'₁ der zweiten Stufe.

Der Eintrittswinkel der Leitschaufeln oder der Leitkammer entspricht dem Dampf-Austrittswinkel α₂ der ersten Stufe, deren Austrittswinkel dem Eintrittswinkel α'₁ der zweiten Stufe. Wegen der einfacheren Herstellung sollte man versuchen die Leitschaufel ebenfalls symmetrisch zu gestalten. Wir verfahren nun weiter wie bei der ersten Stufe.

Wir können nun dem fertigen Geschwindigkeitsplan die Ein- und Austrittswinkel der Lauf- und ggf. der Leitschaufel zur Konstruktion der Schaufelprofile und die Dampfgeschwindigkeiten zur Ermittlung der Durchström-Querschnitte entnehmen.

Aus den Umfangskomponenten w_1u  und w_2u und ggf. bei Zweistufigkeit w'_1u und w'_2u (Bild 2) können wir das innere Wärmegefälle h_i ermitteln.
Das innere Wärmegefälle besagt, wie viel des zur Verfügung stehenden Wärmegefälles h, auch als theoretisches Wärmegefälle h_t bezeichnet, in mechanische Arbeit umgesetzt wird
Das Verhältnis h_i : h_t  benennt uns den inneren Wirkungsgrad η_i der Dampfturbine.

Hier die Bilder zum obigen Beitrag.

Liebe Modellbaufreunde,
neben dem bis heute währenden Einsatz in Großkraftwerken, fand die Dampfturbine als Antrieb von Seeschiffen ein weiteres großes Anwendungsgebiet.
Obwohl sie zwischenzeitlich durch die wirtschaftlicheren Groß-Dieselmaschinen abgelöst wurde, ist sie ein wesentlicher Teil der technischen Seefahrtgeschichte.
Die Schiffsdampfturbine verdrängte seit dem Ende der ersten Dekade des vorigen Jahrhunderts mehr und mehr die Kolbendampfmaschine; zuerst als Antrieb von kleinen, schnellen Kriegsschiffen, später fand sie als Getriebeturbine, aufgeteilt auf mehrere Gehäuse, auch Einzug auf den großen Schiffseinheiten der Seestreitkräfte und schließlich der kommerziellen Schifffahrt. Dieser geschichtlichen Entwicklung sollten wir eigentlich auch im Schiffsmodellbau Rechnung tragen.

Die stiefmütterliche Behandlung der Dampfturbine als vorbildtreuer Antrieb eines Schiffsmodells, wird ihrer historischen Bedeutung nicht gerecht.
Die Gründe hierfür wurden bereits mehrfach erörtert. Neben der Komplexität der physikalischen Zusammenhänge, sind es vor Allem die oft fehlenden, technologischen Vorrausetzungen, die vor einer Realisierung zurückschrecken lassen.
Der zunehmende Einzug von CNC-Maschinen in die Hobbywerkstätten, bzw. die CNC-Fertigung als angebotene Dienstleistung, eröffnen neue Möglichkeiten bei der zweifellos handwerklich schwer realisierbaren Anfertigung der Schaufelräder einer optimierten Modelldampfturbine.

Wir haben im Beitrag ,,Die Dampfturbine im Modellbau"  http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html
die wichtigsten Kenngrößen einer Modelldampfturbine und ihrer Beziehungen zu einander kennen gelernt. Wir wissen auch, dass sich diese Kenngrößen gegenseitig beeinflussen bzw. von einander abhängen. Die Veränderung oder Abweichung einer Größe hat mitunter erhebliche Auswirkungen auf das Ergebnis. Das gilt vom Grundsatz sowohl für Turbinen des Großbetriebes, als auch für das Modell.
Es ist daher bei der Entwicklung und Konstruktion von Dampfturbinen wichtig, die Einfluss-Größen zu harmonisieren und für den optimalen Wirkungsgrad eines bestimmten Betriebszustandes aufeinander abzustimmen. In der Regel legt man diese optimierten Bedingungen für die Nennleistung und die Nenndrehzahl einer Dampfturbine fest.

Die zu Grunde liegenden Gesetze der Wärme- bzw. Strömungslehre gelten dabei sowohl für die Großturbine als auch das Modell. Allerdings nimmt die einschlägige Fachliteratur keinerlei Rücksicht auf die Belange des Modellbaues. In Ermangelung geeigneter Modell-Fachliteratur habe ich vor einigen Jahren versucht, die Berechnungs-Regeln des Großbetriebes zu vereinfachen, von unnötigem Ballast zu befreien und in einer verständlichen Form für den Modellbau zugänglich zu machen.

Trotz der weitgehenden Anwendung grafischer Berechnungs- und Konstruktionshilfen kommt man aber um einige Berechnungen nicht herum. Zur Lösung einiger notwendiger Gleichungen genügt aber ein gewöhnlicher Schul-Taschenrechner. Durch die Anwendung von so genannten Zahlenwert-Gleichungen wird die Berechnung sehr vereinfacht, da lediglich die von Anwendung zu Anwendung verschiedenen variablen Größen einzufügen sind.

Neben dem bekannten Mollier- oder h-s-Diagramm bildet der so genannte Geschwindigkeitsplan eines der wichtigsten grafischen Hilfsmittel zur Berechnung einer Modelldampfturbine.
Bei der Anleitung zur Erstellung eines Geschwindigkeitsplanes lernen wir auch die erste Zahlenwert-Gleichung kennen.

Ich bitte daher die FL um Verschiebung der Antwort  # 35 vom 29.01.2012 in
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.msg184094.html#new
nach hier.

Bitte erfüllt.  :MG:

Und schön, dass Du weiter schreibst, auch wenn ich persönlich nur ein achtel verstehen werde.  :O/Y

na Georg wieder ein top Beitrag -ich lerne ununterbrochen top top top

liebe Grüße

Hans

Hallo Freunde,
vorab nochmals meinen Dank an Thorsten. 
Wir sollten uns durch die neue Reihenfolge beim Verschieben des oberen Beitrages nicht beirren lassen und unverzüglich mit der gemeinsamen Aufarbeitung dieses neuen Themas beginnen.
Ich möchte aber doch darauf hinweisen, dass es letztendlich eine Anfrage aus dem immer größer werdenden Kreis der Dampfturbinen-Freunde war, die hierzu den Anstoß gab.
Ich freue mich, dass es eben dieses Forum ist, wo ein solch anspruchsvolles Thema behandelt werden kann und damit einer noch kleinen Minderheit Plattform und Heimstatt bietet.

Wie bereits bei der Beschreibung des Geschwindigkeitsplanes angedeutet, werden wir den Weg erarbeiten, wie aus den hieraus entnommenen Werten der innere Wirkungsgrad, das innere Wärmegefälle sowie der spezifischen Dampfverbrauch ermittelt werden kann.
Wir werden für eine vorgegebene Turbinenleistung den Düsenquerschnitt, den effektiven Dampfverbrauch, sowie die erforderliche Verdampfungsleistung des Kessels berechnen.
An Hand von Beispielen werden die unterschiedlichen Dampfqualitäten und die Veränderungen des Dampfzustandes innerhalb des Prozesses, sowie deren Einfluss auf die Turbinenleistung dargelegt. Schließlich werden wir die Dampfdurchtritts-Querschnitte der Schaufeln und Leitvorrichtungen sowie deren Konstruktion behandeln. Wir werden dabei immer wieder auf die Erläuterungen im Beitrag ,,Die Dampfturbine im Modellbau" zurückgreifen.

Ermittlung des inneren Wärmegefälles h_i und des inneren Wirkungsgrades η_i
Diese beiden am Ende des o.a. Beitrages zum Geschwindigkeitsplan genannten Begriffe sind uns bereits aus der Behandlung der Verluste aus Antwort #16 vom 25.08.2010,  http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html  bekannt.
Ich möchte trotzdem noch einmal darauf eingehen.
Wir wissen, dass die Umwandlung von einer Energieform in eine andere nie ohne Verluste von Statten geht. Die Verlustquellen in einer Dampfturbine sind nicht nur recht vielfältig, sonder auch von unterschiedlicher Natur. Die Verluste, die im Dampf selbst durch Reibung und Verwirbelung der Dampfteilchen auftreten, werden innere Verluste genannt und stellen sich bekanntlich im h-s-Diagramm als Minderung des verfügbaren theoretischen Wärmegefälles h_t dar; sie erhöhen durch die entstehende Verlustwärme die Temperatur des Dampfes. Die Physiker sprechen von Entropie-Zunahme.

Der Teil des verfügbaren Wärmegefälles h_t, der nach Abzug aller inneren Verluste letztendlich am Turbinenrad in mechanische Arbeit umgewandelt wird, nennt sich inneres Wärmegefälle h_i. Je größer das innere Wärmegefälle im Verhältnis zum theoretischen Wärmegefälle ist, umso mehr der verfügbaren Wärmeenergie wird in mechanische Arbeit umgewandelt. Dieses Verhältnis wird innerer Wirkungsgrad η_i genannt und ist ein Maß für die Güte der Turbine.
Es gibt grob gesagt, zwei Wege den Wert des inneren Wärmegefälles zu ermitteln.
Wir berechnen einzeln alle auftretenden Verluste und ziehen ihre Summe vom verfügbaren Wärmegefälle ab oder wir berechnen das innere Gefälle direkt aus den so genannten Umfangskomponenten der relativen Dampfgeschwindigkeiten. Diese Umfangskomponenten sind dem Geschwindigkeitsplan zu entnehmen.

Wir erinnern uns, dass früher im Geschwindigkeitsplan die Dampfgeschwindigkeiten am Eingang und am Ausgang der Schaufeln übereinander gezeichnet wurden. Das machte zwar die Darstellung etwas unübersichtlich, entsprach aber weitgehend den realen Gegebenheiten.
Wir betrachten noch einmal den Geschwindigkeitsplan einer einstufigen Turbine in Bild 2 oben.
Hier sind Schaufeleintritt und Schaufelaustritt nebeneinander gezeichnet und wir sehen jeweils darunter die Darstellung der Umfangskomponenten w_1u und w_2u.
Was es mit diesen Umfangskomponenten für eine Bewandtnis hat, lässt sich am einfachste durch die Darstellungen in Bild 4 verdeutlichen.
Die Austrittsseite (grau) denken wir uns von rechts um 180⁰ um die Achsebene nach links geklappt. Damit kommt sie über der Eintrittsseite (schwarz) zu liegen (Bild 4 oben).
Von der umgeklappten Austrittsseite wurden zur besseren Übersicht bis auf die Komponente w_2u alle Benennungen entfernt. So können wir erkennen, dass alle Dampfgeschwindigkeiten in Drehrichtung wirken
Wir entfernen weiterhin Alles, bis auf die relativen Dampfgeschwindigkeiten w₁ und w₂.
Nun können wir diese, unter ihren jeweiligen Winkeln verlaufenden Geschwindigkeiten wiederum durch Parallelogramme in ihre in Achsrichtung bzw. in Drehrichtung (Umfang) verlaufenden Komponenten zerlegen (Bild 4 unten). 
Die Achskomponenten w_1a und w_2a haben im Modell-Turbinenbau eine untergeordnete Bedeutung.
Die Umfangskomponenten w_1u und w_2u hingegen sind von äußerster Wichtigkeit, denn addiert besagen sie, welche Bewegungsenergie des Dampfes am Radumfang wirksam ist.
Die Länge der Umfangskomponenten wird gemessen und dem Maßstab entsprechend in Dampf-Geschwindigkeit (m/s) umgerechnet (siehe Bild 3 oben).
Diese Bewegungsenergie (m/s) des Dampfes lässt sich in die adäquate Wärmeenergie (kcal/kg) umrechnen; wir sprechen dann vom inneren Wärmegefälle h_i.
Hierfür gilt die Gleichung:

                                        u
                h_i (kcal/kg) =  ———— • (w_1u + w_2u + ...)     (u und w in m/s)
                                      4189

u = Umfangsgeschwindigkeit am Schaufelkranz.
Der Zahlenwert ergibt sich aus Erdbeschleunigung g mal Wärmeäquivalent:
9,81 • 427 = 4189.

Das Verhältnis inneres Wärmegefälle zum theoretischen Wärmegefälle stellt den inneren Wirkungsgrad dar; man spricht auch vom Wirkungsgrad am Radumfang.
Als Gleichung: η_i = h_i : h_t.

Um den Einfluss der verschiedenen Größen auf den inneren Wirkungsgrad zu verdeutlichen, empfehle ich zur Übung einige Geschwindigkeitspläne mit veränderten Werten zu zeichnen.
In den vorwiegend einfachen Düsen der Modell-Dampfturbinen lassen sich Wärmegefälle von 22 bis 25 kcal/kg verarbeiten, ohne den kritischen Druck zu überschreiten.

Informationen über Dampf-Düsen findet ihr im Beitrag ,,Schiffs-Dampfturbinen" unter Antwort #5 vom 17.10.2010.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html

Diese Wärmegefälle entsprechen nach Abzug der Düsenverluste einer Dampfgeschwindigkeit c₁ von etwa 400 m/s (Bild 3 oben). Bei den Übungen legen wir diese Dampf-Geschwindigkeit zu Grunde.
Für die Umfangsgeschwindigkeit setzen wir u = 80 m/s ein. Das entspricht einem mittleren Schaufelkranz-Durchmesser von etwa 80 mm bei einer Drehzahl von 20.000 ¹/min.

Wir verändern den Düsenwinkel α₁ und stellen fest, dass bei kleinerem Düsenwinkel auch die übrigen Winkel kleiner werden und sich die Umfangskomponenten w_1u und w_2u vergrößern. Das bedeutet größeres inneres Wärmegefälle und höherer Wirkungsgrad, obwohl auch der Umlenkwinkel der Schaufeln und damit der Schaufel-Verlust größer wird. 

Bei unseren weiteren Übungen verändern wir bei gleich bleibender Dampfgeschwindigkeit c₁ und gleichem Düsenwinkel α₁, die Umfangsgeschwindigkeit u, also Raddurchmesser oder Drehzahl. Wir stellen fest, dass der Wirkungsgrad bei einem Verhältnis u/c₁ = 0,5 sein Maximum erreicht (Bild 5, Düsenwinkel α₁ ≈ 17⁰).

Auf diese Einflüsse von Düsenwinkel α₁ und Geschwindigkeits-Verhältnis u/c₁ auf den Wirkungsgrad η_i wurde bereits hingewiesen.

Der innere spezifische Dampf-Verbrauch d_i
Bei unseren Übungen legten wir in etwa Modellbau gerecht, eine Düsen-Austritts-Geschwindigkeit c₁ = 400 m/s und eine Umfangsgeschwindigkeit
u = 80 m/s zu Grunde.
Das ergibt ein Geschwindigkeits-Verhältnis u/c₁ = 0,2.
Entsprechend der Kurve in Bild 5 wäre der Wirkungsgrad am Radumfang η_u bzw. der innere Wirkungsgrad η_i ≈ 0,5.
Dieser Wert wird durch die Ergebnisse unserer Übungen nahezu bestätigt. 
Das heißt: Mit den Gegebenheiten des Modellbaues sind bei einstufigen Dampfturbinen unter günstigsten, also optimierten Bedingungen innere Wirkungsgrade von ≈ 0,5 erreichbar; leicht nach oben bzw. unten abweichend.

Das bedeutet, dass lediglich ≈ 50 % der verfügbaren Wärmeenergie des Dampfes in mechanische Arbeit umgewandelt werden. Die Gründe hierfür liegen weitgehend in der recht hohen Austritts-Geschwindigkeit c₂.
Wenn wir die Geschwindigkeitspläne der Bilder 2 und 3 betrachten, stellen wir fest, dass etwa die Hälfte der Bewegungsenergie (m/s) von c₁ über die Austrittsgeschwindigkeit c₂ verloren geht.
Eine Verbesserung des Wirkungsgrades wäre demnach nur durch Änderung des Verhältnisses u/c₁ in Richtung 0,5 möglich.
Wie die zweite Hälfte unserer Übungen zeigte, bedeutet das aber große, für den Modellbau kaum praktikable Raddurchmesser oder Umfangs-Geschwindigkeiten, mit denen durch die auftretenden Fliehkräfte schnell die Grenzen der Material-Beanspruchung erreicht werden.

Auch bei einem Schiffsmodell mit Dampfturbinen-Antrieb erwarten wir eine für Schaufahrten ausreichend lange Fahrzeit. Die Betriebzeiten der modernen Hochleistungs-Akkus bei Modellen mit Elektro-Antrieb können hierfür allerdings kein Maßstab sein.
Aber selbst bei einigen Zugeständnissen muss letztendlich das zu verdampfende Wasser in ausreichender Menge mitgeführt werden. Wird das Volumen des Kessel für eine solche Wassermenge ausgelegt oder das verdampfte Wasser wird durch Nachspeisung des Kessels aus einem Zusatztank oder ggf. einem Kondensat-Sammler ausgeglichen, bedeutet das in jedem Fall Bedarf an Raum und das Tragen von Gewicht.

Das oberste Gebot bei der Konstruktion einer Modell-Dampfturbine ist demnach die Erzielung eines hohen Wirkungsgrades und damit eines möglichst niedrigen Dampfverbrauchs. Hierfür bieten sich verschiedene konstruktive Lösungen und Maßnahmen.
Um deren Effizienz untereinander vergleichen zu können, betrachten wir jeweils ihren spezifischen Dampfverbrauch d.
Er besagt, wie viel Kilogramm Dampf von der jeweiligen Turbine pro Kilowatt benötigt werden.
Wir errechnen ihn aus dem inneren Wärmegefälle h_i. Bekanntlich ist 1kWh = 860 kcal.
Als  Gleichung:

                  Spezifischer Dampfverbrauch d_i (kg/kWh) = 860 : h_i (kcal/kg)

Der effektive spezifische Dampf-Verbrauch d_e und die Dampfverbrauchs-Menge G
Wenn wir das innere Gefälle h_i zur Berechnung des spezifischen Dampfverbrauchs aus den Umfangskomponenten des Geschwindigkeitsplans ermitteln, werden nicht alle inneren Verluste erfasst.
Wir nennen ihn daher zur Unterscheidung den inneren spezifischen  Dampfverbrauch d_i.
Im Geschwindigkeitsplan werden die Radreibungs- und Ventilationsverluste nicht dargestellt und natürlich ebenso wenig die so genannten äußeren Verluste.
Die Verluste wurden in ,,Die Dampfturbine im M...." unter Antwort # 16 vom 25.08.2010 beschrieben.   
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Die Spaltverluste und die Verluste durch Radreibung sind bei den Drücken und Abmessungen des Modellbaus vernachlässigbar.
Die Ventilationsverluste können durch geeignete Maßnahmen (Ventilationsschutz-Ringe) in Grenzen gehalten werden.

Die etwas schwierige Berechnung dieser Verluste ersparen wir uns und setzen u.U. einen Schätzwert ein.
Die Höhe dieser Verluste kann 5% bis 10% vom theoretischen Wärmegefälle h_t betragen und muss von Fall zu Fall beurteilt werden. Sie hängt von der Bauart der Turbine, sowie der Qualität von Konstruktion und Ausführung ab. 
Um bei den weiteren Berechnungen diese Verluste nicht völlig unberücksichtigt zu lassen, empfehle ich gerne den ,,goldenen Mittelweg".
Wir mindern also ggf. das innere Gefälle h_i um 7,5 % des theoretischen Wärmegefälles h_t  und setzen bei unseren weiteren Berechnungen den geminderten Wert ein.
Den hieraus ermittelten spezifischen Dampfverbrauch nennen wir den effektiven spezifischen Dampfverbrauch d_e.

Wenn wir eine von uns gewünschte Turbinen-Leistung N zu Grunde legen, können wir mit Hilfe des effektiven spezifischen Dampfverbrauchs d_e die zu erwartende Dampf-Verbrauchsmenge in Gramm pro Sekunde G_sek ermitteln.
Hier die Gleichung:

                                                              d_e (kg/kWh) • N (W)
                                             G_sek (g/s) = ——————————
                                                                       3600

Diese Gleichung wurde zur Vereinfachung auf die Leistungen des Modellbaus in Watt (W) umgestellt.

Die Kontinuitätsgleichung von Bernoulli
Mit der Dampfmenge G_sek haben wir eine wichtige Größe zur Berechung einer Modell-Dampfturbine, aber auch zur Dimensionierung des Kessels ermittelt.
Bei der Dampfturbine benötigen wir diesen Wert zur Berechnung der Durchström-Querschnitte des Dampfes.
Das sind bei einer einstufigen Modell-Dampfturbine, der Düsenquerschnitt, u.U. der Querschnitt der Schaufelkanäle und der Querschnitt des Dampf-Austritts. Bei z.B. einer Turbine mit zwei Geschwindigkeits-Stufen durch Wiederbeaufschlagung des Laufrades, würden wir darüber hinaus mit ihrer Hilfe den Ein- bzw. Austrittsquerschnitt der Umlenkkammer (Leitkammer) ermitteln.
Wir bedienen uns hierzu der so genannten Kontinuitäts- bzw. Stetigkeitsgleichung von Bernoulli.
Ich habe schon früher versucht, diese Gleichung möglichst leicht verständlich zu erklären, so unter Antwort # 24 vom 25.08.2011.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Die Kontinuitätsgleichung besagt demnach, dass in einem System mit unterschiedlichen Querschnitten die, in einem Zeitintervall durch jeden Querschnitt F fließende Menge G gleich ist.
Bei inkompressiblen Flüssigkeiten mit ihrer konstanten Dichte bedeutet das, dass die jeweiligen Produkte aus Querschnittsfläche F und Strömungsgeschwindigkeit c gleich sind:

                                      G = F1 • c1 = F2 • c2 = F3 •  c3 = .... = konst.

Bei kompressiblen Gasen kann sich beim Durchströmen eines Systems das Volumen ändern. So auch bei unserem Wasserdampf.
Das bedeutet:
Beim Durchströmen der Turbine verringern sich durch Expansion (Prozess) oder Temperaturverlust der Druck p und die Dampfdichte γ (Gamma).
Wir rechnen mit dem Kehrwert (1/x) der Dichte γ, dem spezifischen Volumen v.
Somit gilt folgende Gleichung: 

                                         G ∙ v = F ∙ c

Wobei G die Menge, v das spezifische Volumen, F die Querschnittsfläche und c die Strömungsgeschwindigkeit ist.

Durch die geleistete Arbeit und die Strömungsverluste in der Turbine ändert sich aber neben dem Dampfzustand (v) auch die Dampfgeschwindigkeiten c (m/s). Diesen verringerten Geschwindigkeiten und dem höherem spezifischen Volumen muss durch Vergrößerung der Durchtritts-Querschnitte ausreichend Raum geschaffen werden.
Die von uns gesuchten Abmessungen der jeweilig durchströmten Querschnittsflächen F (mm²) der Düsen und Kanälen einer Modell-Dampfturbine, ergeben sich nach Umstellung der Gleichung aus:

                                                             G_sek (g/s) ∙ v (m³/kg) ∙ 1000
                                         F (mm²)  =  _____________________________                                   
                                                                          c (m/s)

Für die Geschwindigkeit c und das spezifische Dampfvolumen v setzen wir jeweils die Werte am Austritt einer Düse oder eines Kanals ein.
Die entsprechenden Geschwindigkeiten c werden errechnet oder dem Geschwindigkeitsplan entnommen. Das spezifische Volumen v entnehmen wir direkt einem h-s-Diagramm mit Volumenlinien oder nach Ermittlung des jeweiligen Stufen-Druckes p, dem etwas genaueren p-v-Diagramm.
Die Gleichung ist besonders wichtig für die Berechnung des Düsenquerschnitts F_min der im Modellbau vorwiegenden einfachen Düsen.

Ermittlung des spezifischen Dampfvolumens v aus dem h-s-Diagramm
Wir wissen, dass das spezifische Dampfvolumen v vom Druck, aber auch von anderen Zustandsgrößen des Dampfes, wie dem Wärmeinhalt i, dem Dampfgehalt x und der Überhitzungs-Temperatur t_ü abhängt. Das heißt, er verändert sich innerhalb des Prozesses.

Wasserdampf-Tafeln geben lediglich über das feste, spezifische Volumen v'' des Sattdampfes Auskunft und sind damit für unsere Berechnungen nur bedingt geeignet.
Ein so genanntes p-v-Diagramm wäre zwar genauer, steht aber in der Regel für die niedrigen Drücke des Modellbaues nicht mit ausreichender Auflösung zur Verfügung.
In einem h-s-Diagramm mit Volumenlinien können wir die Abhängigkeit des spezifischen Dampfvolumens v vom Dampfdruck p und dem Dampfzustand  erkennen.
Benutzen wir ein h-s-Diagramm mit Volumenlinien, können wir recht einfach und mit ausreichender Genauigkeit das jeweilige spezifische Dampfvolumen eines Punktes der Expansionslinie ermitteln. Werte zwischen den Volumenlinien erhalten wir ggf. durch Interpolieren.

In einem h-s-Diagramm kann bekanntlich der Prozessverlauf (Expansionslinie) in einer Dampfturbine dargestellt werden.
Siehe Antwort # 16 vom 25.08.2010   http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Bild 6 zeigt den bereits aus obigen Link bekannten Ausschnitt aus dem h-s-Diagramm mit dem Expansions-Verlauf in einer Modell-Dampfturbine.
Die Linien und Werte des spezifischen Dampfvolumens (m³/kg) wurden hier zur Verdeutlichung in rot angelegt.
Gleichzeitig wurde der Punkt A (Betriebsdruck p₁ = 1,7 at_a) von der Sattdampflinie in den Überhitzungs-Bereich (t_ü = 125⁰ C)  verschoben.
Es handelt sich hier um eine Dampfturbine für Auspuff-Betrieb (Enddruck p₀ = 1 at_a, also atmosphärischer Umgebungsdruck).
Wie wir erkennen können, wird durch die Überhitzung des Betriebsdampfes sicher gestellt, dass der Abdampf (Punkt A₄) noch oberhalb der Sattdampflinie liegt und damit frei ist, von Leistung minderten Kondensat (x = 1).

Am Wichtigsten ist für uns aber zu diesem Zeitpunkt, dass wir für jeden Punkt der Expansionslinie das jeweilige Dampfvolumen ablesen können.
So sehen wir Beispielweise, dass sich das spezifische Volumen des Betriebsdampfes p₁ von etwa 1,1 m³/kg am Punkt A (Düseneingang) im Laufe der Expansion auf etwa 1,7 m³/kg am Punkt A₁ (Düsenausgang) erhöht.
Damit verfügen wir über die letzte, noch fehlende Größe zur Bestimmung der Querschnitts-Flächen.

Der Düsenverlust h_d  und die Ermittlung des Dampfzustandes am Punkt A₁
Im Modell-Dampfturbinenbau kommen in der Regel nur so genannte einfache Düsen zum Einsatz. Dafür gibt es folgende Gründe:
Bei den vergleichsweise kleinen Turbinenleistungen des Modellbaus sind die hierfür benötigten Dampfmengen so gering, dass sich zwangsläufig entsprechend kleine Düsenquerschnitte ergeben. Man gerät sehr schnell an die Grenzen der Herstellbarkeit.
Noch schwieriger würde sich demnach die Herstellung von erweiterten Düsen gestalten.
Erweiterte Düsen (Laval-Düsen) kommen erst bei größeren Wärmegefällen (> 25 kcal/kg) zum Einsatz. Größere Wärmegefälle bedeuten aber auch höhere Dampfgeschwindigkeiten.

Nun wissen wir aber aus Antwort #5 vom 17.10.2010, Bild 3,  http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html 
dass sich die Dampfteilchen in einfachen Düsen nur bis zu einem bestimmten Druckverhältnis p₁/p₀ beschleunigen lassen. An der Mündung einer Düse, bzw. an ihrem kleinsten Querschnitt F_min, stellt sich immer nur ein bestimmter Minimal-Druck ein, Laval- oder kritischer Druck p_k genannt. 
Damit der Dampf in einem verwirbelungsfreien Strahl (laminar) aus einer einfachen Düse austreten kann, muss der kritische Druck p_k gleich, oder kleiner als der Gegendruck p₀  sein,.
Für Sattdampf oder leicht überhitzten Dampf gilt:   Kritische Druck p_k = p₁ ∙ 0,58.

Wir emitteln den kritischen Druck p_k für Auspuff-Betrieb, also Gegendruck p₀ = 1 at_a (atmosphär. Umgebungsdruck):

         p_k = p₁ ∙ 0,58   →   p_k =  p₀   →   p₁ = p₀ : 0,58   →   p₁ = 1 at_a : 0,58 = 1,72 at_a

Das hierbei theoretisch verfügbare Wärmegefälles h_t von ca. 22 kcal/kg zeigt Bild 6.

Auf die Strömungsverluste im Düsenkanal sind wir bereits kurz eingegangen. Sie vermindern bekanntlich die theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀ auf die Düsen-Austrittsgeschwindigkeit c₁.
Im Großbetrieb werden diese Düsenverluste durch den Düsenkoeffizient φ (Phi) dargestellt,
der hat im Großbetrieb die Werte:

                                              φ = 0,93 ... 0,95  (gegossene Düsen, 7 bis 5 %)
                                              φ = 0,95 ... 0,97  (gefräste Düsen, 5 bis 3 %).

Wegen der kleinen Düsenquerschnitte und dem ungünstigen Verhältnis zwischen Querschnitt und Wandflächen dürfte der Wert im Modellbau trotz sorgfältigster Ausführung eher bei etwa 10 bis 8 % liegen, also:

                                              φ = 0,90 ... 0,92.

Dieser Verlust an Dampfgeschwindigkeit (c₁ = c₀ ∙ φ) lässt sich wiederum in den adäquaten Wärmeenergieverlust h_d (kcal/kg) umrechnen.
Hierfür gilt die Gleichung:

                                              h_d = (1 – φ²) ∙ h_t  (kcal/kg).

Ziehen wir den Düsenverlust h_d vom theoretischen Wärmegefälle h_t unten ab, erhalten wir den Punkt A₁ der Expansionslinie im h-s-Diagramm
(Bild 6).
Der, dem Düsenverlust h_d entsprechende Teil des theoretisch verfügbaren Wärmegefälles h_t  wurde in Schallenergie und Reibungswärme verwandelt und geht für die Umwandlung in mechanische Arbeit verloren. Die Reibungswärme hat jedoch den Zustand des Dampfes verändert. Die Verlustwärme hat den Wärmeinhalt i des entspannten Dampfes etwas erhöht; der Dampf ist trockener geworden (x = 0,985).
Ähnlich verhält es sich mit den anderen Verlusten (Punkte A₂  bis A₄). Welche Bedeutung sie für uns haben und wie man sie ermittelt, werden wir noch behandeln.
Das spezifische Dampfvolumen v hat am Punkt A₁ gegenüber Punkt A₀ marginal abgenommen. Seine weiteren geringfügigen Veränderungen bis zum Dampfaustritt bei A₄, sind bei einer einstufigen Modell-Dampfturbine vernachlässigbar.
Wir setzen daher bei unseren Querschnitts-Berechnungen in jedem Fall den Wert am Düsenausgang A₁ ein (v = 1,7 m³/kg). 

Die weiteren Schaufelungsverluste
Mit dem Oberbegriff Schaufelungsverluste bezeichnet man die Summe der Düsen-, Schaufel und Austrittsverluste.

Den Düsenverlust haben wir oben behandelt. Auf die Ermittlung der weiteren Verluste und damit der Punkte A₂ bis A₄  gehen wir in diesem Abschnitt nur der Vollständigkeit wegen ein. Ihre Berechnung ist bei einstufigen Modell-Dampfturbinen u.U. entbehrlich, da wir hier in der Regel das innere Wärmegefälle h_i (Punkt A₄) nicht durch Addition der Einzelverluste ermitteln, sondern mit Hilfe der Umfangskomponenten w._u des Geschwindigkeitsplanes. Darüber hinaus benutzen wir ggf. lediglich den Wert des spezifischen Dampfvolumens v am Punkt A₁ zur Ermittlung von Durchtrittsquerschnitten.

Wir wissen bereits, dass beim Durchströmen der Schaufeln ebenfalls Energieverluste entstehen und sie durch den Verlustbeiwert ψ (Psi) dargestellt werden.
Sie bewirken ähnlich der Düsenverluste eine Minderung der verfügbaren Strömungsenergie und eine Änderung des Dampfzustandes.
Dieser Verlust an Dampfgeschwindigkeit lässt sich ebenfalls in den adäquaten Wärmeenergieverlust h_s (kcal/kg) umrechnen.
Wir verwenden hierzu die jeweilige Eintrittsgeschwindigkeit; bei einer einstufigen Turbine demnach die Geschwindigkeit w₁ des Geschwindigkeitsplanes.
Es gilt die Gleichung:
                                         
                                                h_s = (w₁² : 8378) • (1 - ψ²)  (kcal/kg).

Geschwindigkeit w₁  in m/s.
Zahlenwert: 8378 = 2 • 9,81 • 427.

Der Wert des Düsenverlustes h_s wird ebenfalls unten vom noch verfügbaren Wärmegefälle bei Punkt A₁ abgezogen und wir erhalten den Punkt A₂.

Bei mehrstufigen Turbinen ermittelt man die Verluste in den Lauf- und Leitschaufel einzeln, und zwar in der Reihenfolge der Durchströmung.
Das gilt sinngemäß auch für Turbinen mit wiederholter Beaufschlagung über Umlenk- bzw. Leitkammern, aber hierauf werden wir ggf. noch eingehen.

Mit Hilfe des so genannten Austrittverlustes h_a finden wir den Punkt A₃.

Der Dampf muss mit einer ausreichenden Restgeschwindigkeit die Turbine verlassen können.
Die ideale Austrittsgeschwindigkeit sollte bei mehrstufigen Modell-Dampfturbinen etwa 10 % des verfügbaren Wärmegefälles h_t nicht überschreiten und möglichst axial aus den Schaufeln austreten (siehe Bild 3, oben, Stufe 2 und 4).
Zwangsläufig muss man hier bei einer einstufigen Turbine deutliche Zugeständnisse machen.
Wir verwenden die Gleichung

                                                 h_a = c₂² : 8378 (kcal/kg)

und verfahren mit dem ermittelten Wert in bekannter Weise.

Den letzten Teil der Verluste bilden die oben bereits behandelten Spalt-, Radreibungs- und Ventilationsverluste.
Wir verzichten auf eine Berechnung und setzen hierfür ggf. einen Schätzwert ein, um den Punkt A₄ fest zulegen.

Im nächsten Beitrag werden wir als Beispiel eine einstufige Modell-Dampfturbine berechnen und neben der Düse auch die Form des Schaufelprofils konstruieren.

Berechnungsbeispiel
Für ein mittleres Modellschiff wählen wir eine einstufige, axiale Modell-Dampfturbine mit einfacher Düse für Auspuff-Betrieb und einer Leistung von etwa 20 Watt.
Wir lehnen uns dabei weitgehend an die bekannten Werte aus den obigen Übungen an. Die Expansionslinie, sowie deren Positionierung im h-s-Diagramm werden demnach in etwa mit Bild 6 übereinstimmen.

Wir legen also fest:

Einstufige Gleichdruck-Modell-Dampfturbine mit einfacher Düse.
Betriebsdruck p₁ = 1,7 at_a (überhitzt, t_ü = 125 ⁰C).
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).
Theoretisches Wärmegefälle h_t = 22 kcal/kg
Laufrad-Durchmesser am Schaufelfuß D_F ≈ 75 mm*.
Drehzahl n = 20.000 ¹/min.
Leistung N = 20 W.

*) ...der genaue Rad-Durchmesser ergibt sich durch Schaufelteilung und Schaufellänge!

Wir ermitteln als erstes die Umfangsgeschwindigkeit u; gemeint ist damit die mittlere Umfangsgeschwindigkeit des Schaufelkranzes. Das heißt auf halber Schaufellänge.
Im Modellbau sollte aus strömungstechnischen Gründen (Verhältnis Kanalquerschnitt zu Wandflächen) die Schaufellänge l = 2,5 mm nicht unterschritten werden.
Wir addieren zum Schaufelfuß-Durchmesser D_F eine Schaufellänge l und erhalten den mittleren Schaufelkranz-Durchmesser D_M.

                      D_M = D_F + l  = 75 mm + 2,5 mm = 77,5 mm.

Der mittlere Schaufelkranz-Umfang U_M ist demnach:

                     U_M  =  D_m • π  = 77,5 • 3,14 = 243 mm ≈ 0,24 m.

Umfangsgeschwindigkeit u beträgt:

                  u (m/s) = (n (¹/min) : 60) • U_M (m)  = (20.000 : 60) • 0,24 = 80 m/s.

Wir berechnen die Dampfgeschwindigkeit c₁ bei einem Düsen-Verlustbeiwert φ = 0,93:

          c₁ = (91,5 • √ h_t (kcal/kg)) • φ = (91,5 • √ 22) • 0,93 = (91,5 • 4,6) • 0,93 ≈ 400 m/s.

Wir wählen den Düsenwinkel α₁ = 17⁰ und zeichnen den Geschwindigkeitsplan (Bild 7).

Wir messen einen Schaufel-Eintrittswinkel β₁ = 20⁰ und eine relative Dampfgeschwindigkeit w₁ = 324 m/s.
Wir entscheiden uns für symmetrische Schaufeln; damit ist auch der Winkel β₂ = 20⁰.
Hieraus ergeben sich:

Schaufelwinkel-Mittelwert: β' =  (β₁ + β₂) : 2  = 20⁰, Schaufel-Verlustbeiwert: ψ = 0,8.

und errechnen:

               Relative Dampfgeschwindigkeit w₂ = w₁ • ψ  = 324 • 0,8 = 259 m/s.

Dampf-Austrittsgeschwindigkeit c₂ = 188 m/s, Dampf- Austrittswinkel α₂ = 30⁰.

Aus den beiden Umfangskomponenten errechnen wir das innere Wärmegefälle h_i.

       h_i  = (u : 4189) • (w_1u + w_2u ) = (80 : 4189) • (304 + 244) = 0,019 • 548 = 10,46 kcal/kg.

Wir runden wegen der Radreibungs- und Ventilationsverluste auf h_i = 10 kcal/kg und ermitteln:

                            Wirkungsgrad η_i = h_i : h_t  = 10 : 22 = 0,45.

Der Vollständigkeit halber, aber auch zur Übung berechnen wir die einzelnen Schaufelungsverluste und übertragen ihre Werte in das h-s-Diagramm in Bild 8.

Wir rechnen:
Düsenverlust:
h_d = (1 – φ²) ∙ h_t  = (1 - 0,93²) • 22 = (1 - 0,865) = 0,135 • 22 = 2,97 ≈ 3 kcal/kg.

Wir verfahren in bekannter Weise und finden Punkt A₁.

Schaufelverlust:
h_s = (w₁² : 8378) • (1 - ψ²)  = (3242 : 8378) • (1 - 0,82) = 12,53 • 0,36 = 4,5 kcal/kg.

Wir finden Punkt A₂.

Austrittverlust:                             
h_a = c₂² : 8378 = 1882 : 8378 = 35344 : 8378 = 4,2 kcal/kg.

Entsprechend Punkt A₃.

Wir sehen, dass die Addition der Verluste im h-s-Diagramm, mit dem geschätzten Wert für Radreibung und Ventilation letztendlich zum gleichen Ergebnis (Punkt A₄) führt, wie die vereinfachte Methode, den Wert des inneren Gefälles aus dem Geschwindigkeitsplan zu ermitteln.
Zum besseren Verständnis wurden die einzelnen Werte an den Maßstab des Wärmegefälles angetragen.

Die nächsten Schritte wären die Ermittlung des effektiven, spezifischen Dampfverbrauchs d_e und der Dampfverbrauchsmenge G_sek.

d_e = 860 : h_i (kcal/kg) = 860 : 10 = 86 kg/kWh.

G_sek = (d_e • N_Watt) : 3600 = (86 • 20) : 3600 = 1720 : 3600 = 0,48 g/s.

Mit der umgestellten Bernoulli-Gleichung berechnen wir erst den Düsen-Querschnitt, um danach den Schaufelkanalquerschnitt festzulegen.

Düsen-Querschnitt:                                               
F_min = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,48 • 1,7 •1000) : 400 = 816 : 400 = 2,04 ≈ 2 mm².

Zur Vermeidung von Kantenstößen sollte die Düsenkanalhöhe a etwa 0,5 mm kleiner sein als die Schaufellänge l. Bei einer Mindest-Schaufellänge
l = 2,5 mm ist demnach a = 2 mm und bei einem Querschnitt F_min = 2 mm² die Düsenkanalbreite b = 1 mm (Bild 9).

Wie uns Bild 9 weiterhin zeigt, sollten aus gleichem Grund auch die Öffnungen des Dampfaustritts oder der Dampfeintritt einer Leitkammer angeschrägt werden.

Wir haben nunmehr die Abmessungen des Düsenkanals festgelegt. Bevor wir jedoch zur Bemessung und Konstruktion der Schaufeln kommen, sollten wir an Hand von Bild 10 noch einige neue Begriffe bestimmen.

Neben den bereits bekannten Winkeln α und β und der oben genannten Düsenhöhe a sowie der Düsenbreite b sind das vorrangig:

Schaufelkanalbreite e,
Krümmungsradius r,
Rückenradius r',
Schaufelteilung T_S.

Die Schaufelbreite ergibt sich bei der Konstruktion des Schaufelprofils.
Die Querspalte hängen von der Wärmeausdehnung ab, sollten jedoch so klein wie möglich gehalten werden; in der Praxis sind das etwa 0,3 bis 0,5 mm, je nach technologischen Möglichkeiten.
Werden die Schaufeln nicht per CNC gefertigt, sondern konventionell, so ist eine geeignete Schaufelbefestigung nötig, die erfordert in der Regel eine größere Schaufeldicke.

Bild 10 zeigt weiterhin, dass bei der Verwendung eines Ventilationsschutzes der Dampfaustritt dem Winkel α₂ entsprechen sollte, um Ausströmhindernisse zu Vermeidung.

Demnächst konstruieren wir das Schaufel-Profil.

Hallo Georg,

Ich werde zwar in aller Wahrscheinlichkeit nie eine Modelldampfturbine bauen, aber ich lese hier gerne mit, weil mich das an meine vergangenen (wirklich guten) Stroemungsmaschinen-Vorlesungen erinnert. Nur bei den Nicht-SI einheiten muss ich immer umdenken  :-).
Von deinen Ausfuehrungen koennte sich mancher Lehrkoerper eine Scheibe abschneiden.  :MG:

Schoene Gruesse aus Shanghai

Hallo Shanghai,

dass mit den ,,Nicht-SI-Einheiten" ist kein Zufall.
Ich befasse mich schon viele Jahre mit dem historischen Maschinenbau. An den alten Maschinen und in den alten Fachbüchern findet man nur die alten Bezeichnungen, auch sind die meisten Modellbauer mit ihnen groß geworden.
Eine Vermischung von alten Bezeichnungen und SI-Einheiten erschwert das Verständnis der teilweise recht komplexen Zusammenhänge.
Ich habe mich daher entschlossen, die alten Bezeichnungen zu verwenden.

Ich danke Dir für Dein Interesse.

Bei einer Düsenkanalbreite b = 1 mm ist der Grad mit dem der Schaufelkranz mit Dampf beaufschlagt wird äußerst gering. Der 1 mm breite Dampfstrahl sollte aber mindestens einen Schaufelkanal optimal füllen. Das würde bedeuten, dass der Schaufelkanal e in etwa der Düsenkanalbreite b zu entsprechen hat. 
Durch die geleistete Arbeit und die Verluste im Schaufelnkanal sinkt bekanntlich die Dampfgeschwindigkeit auf den Wert w₂.

Nach der Kontinuitätsgleichung ergibt eine geringere Geschwindigkeit bei gleicher Dampfmenge G_sek und unverändertem spezifischen Volumen v eine größere Querschnittsfläche F. Im Großbetrieb vergrößert man die Schaufellänge l in Richtung des Austrittes auf die Schaufellänge l₁. Im Modellbau ist das nicht praktikabel. Stattdessen wählen wir eine etwas vergrößerte Schaufelkanalbreite e.
Wir berechnen hierzu die Querschnittsfläche F_S am Schaufelausgang.

F_S = (G_sek • v • 1000) : w₂ = (0,48 • 1,7 • 1000) : 259 = 816 : 259 = 3,15 mm².

Bei Schaufellänge l = 2,5 mm:  Kanalbreite e = 3,15 : 2,5 = 1,26 mm.

Wir wählen mit e = 1,15 einen Mittelwert.

Der Schaufel-Krümmungsradius r sollte der doppelten Kanalbreite e entsprechen.

Krümmungsradius r = 2 • e = 2 • 1,15 = 2,3 mm.

Die günstigste Schaufelteilung ermitteln wir mit:

Schaufelteilung T_S = r : (2 sin β') = 2,3 : (2 • 0,34) = 2,3 : 0,68 = 3,38 ≈ 3,4 mm.

Wir haben damit alle Werte für die Konstruktion des Schaufelprofils ermittelt.
Wir bedienen uns hierzu einer einfachen Konstruktionshilfe (Bild 11).

Wir wählen einen ausreichend großen Zeichenmaßstab (mindestens 10 : 1).
Als spätere Schaufelmitte ziehen wir eine senkrechte Linie und schneiden sie an einer geeigneten Stelle durch eine Waagerechte.
Am Schnittpunkt erhalten wir den Mittelpunkt m der Schaufelkrümmung r und schlagen einen Halbkreis mit dem Radius r = 2,3 mm.
Damit die Schaufelkanten nicht zu scharf werden und bereits bei der Herstellung ausbrechen oder sich verformen, legen wir die Flanken F1 und F2 des Rückenprofils nicht als Tangenten am Krümmungsradius r an sondern an einen weiteren Halbkreis mit dem Radius r+.
Den Radius r+ wählen wir etwa 0,2 mm größer als den Krümmungsradius r. Die Schärfung der Kanten erfolgt später durch leichtes Überdrehen.

Vom Mittelpunkt m zeichnen wir im rechten Winkel zu den Schaufelwinkeln β₁ = 20⁰ und β₂ = 20⁰  nach beiden Seiten eine Linie. An ihren Schnittpunkten zur Schaufelkrümmung r erhalten wir die Punkte k der Schaufelkanten und an den Schnittpunkten zum Halbkreis r+ die Anlegepunkte k' der Profilflanken F1 und F2 unter den Winkeln β₁ und β₂.

Der Schaufelkanal e wird durch den Rückenradius r' und der Schaufelkrümmung r der jeweils nächsten Schaufel gebildet. 
Auf der Mittellinie der Konstruktionshilfe zeichnen wir im Abstand der Schaufelteilung T_S = 3,4 mm vom Mittelpunkt m nach oben eine weitere Waagerechte und erhalten den Mittelpunkt m_n der nächsten Schaufel. Wir schlagen wieder einen Halbkreis mit dem Radius r = 2,3 mm und finden die Schaufelkrümmung der nächsten Schaufel.

Nun markieren wir vom Mittelpunkt m_n mit dem Maß  r – e = 2, 3 - 1,15 = 1, 15 mm auf der Mittellinie den vorläufigen Punkt des Schaufelrückens der vorherigen Schaufel.
Mit einer Radienlehre ermitteln wir den günstigsten Rückenradius r'.
Im Abstand des Rückenradius r', in unserem Fall r' = 1,15 mm, zeichnen wir parallel zu den Tangenten innen zwei Hilfslinien. An deren Schnittpunkt zur Mittellinie ergibt sich der Mittelpunkt m' vom Rückenradius r'. Vom Punkt m' zeichnen wir wiederum im rechten Winkel zu den Tangenten zwei Linien und finden an den Schnittpunkten der Tangenten die Ansatzpunkte für den Rückenradius r'. Den bemaßten Entwurf zeigt Abb. 12.

Den Schaufelschnitt unsere Modellturbine mit der Anordnung des Düsenkanals und des Dampfaustrittes sehen wir in Bild 13.

Die Querschnittfläche des Dampfaustritts berechnen wir wie folgt:

F_A= (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,48 • 1,7 • 1000) : 188 = 816 : 188 = 4,34 ≈ 4,4 mm².
Bei einer Kanalhöhe von ebenfall 2 mm (siehe Bild 9) ist die Austrittsbreite b_A = 2,2 mm.

Die Schaufelkranzbreite beträgt nach dem Anschärfen ≈ 4,5 mm.
Das Roh-Maß der Schaufelkranzbreite ermitteln wir bei symmetrischen Schaufeln mit:

B_K = 2 • (r+ • cos β') = 2 • (2,5 • cos 20⁰) = 2 • 2,5 • 0,94 = 4,7 mm.

Wir ermitteln die Schaufelanzahl z_S:

z_S = (D_F • π ) : T_S = (75 • 3,14) : 3,4 = 253,6 : 3,4 = 69,2.

Die Schaufelanzahl z_S muss logischerweise ganzzahlig sein, also 69 Schaufeln.
Wir korrigieren deshalb den Schaufelfuß-Durchmesser D_F = (69 • 3,4) : 3,14 = 74,7 mm.

Wir haben nunmehr alle erforderlichen Maße und Größen bestimmt und können unsere Modell-Dampfturbine konstruieren.
Einige Tipps hierzu findet Ihr unter Antwort # 22 vom 4.4.2011,

http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.15.html

Hallo Modellbaufreunde,
der Beitrag ,,Berechnung von Modelldampfturbinen" steht als PDF-Datei (11,5 MB) zur Verfügung.
Bei Interesse kurze PN mit einer Email-Adresse.

Hallo Georg

ich kann mich Shanghai nur anchließen - an dir ist ein klasse Lehrer verloren gegangen top top top

liebe Grüße

Hans

Mehrstufige Modell-Dampfturbinen
Die Zeit seit meinem letzten Beitrag wurde vermutlich [[Ironie an]] von allen ambitionierten Modellbauern genutzt, um ausgiebig einstufige Modell-Dampfturbinen der unterschiedlichsten Abmessungen durchzurechnen. Ich spüre förmlich deren starkes Verlangen endlich auch etwas über die Berechnung von mehrstufigen Modell-Dampfturbinen zu erfahren [[Ironie aus]].

Wir erinnern uns, dass der Wirkungsgrad von einstufigen Modell-Dampfturbinen durch die hohen Austrittsverluste geprägt ist. Bei den eingeschränkten Abmessungen und Drehzahlen des Modellbaues ist das für einen höheren Wirkungsgrad erforderliche Verhältnis zwischen der Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades und der Dampfgeschwindigkeit am Düsenausgang (u/c₁) kaum erreichbar.

Es liegt also nahe die Bewegungsenergie der noch recht hohen Dampf-Austrittsgeschwindigkeit in einem weiteren Schaufelrad in mechanische Arbeit umzuwandeln.
Es werden also ein Teil der Düsenaustritts-Geschwindigkeit im ersten Rad (Stufe 1) und ein weiterer Teil im zweiten Rad (Stufe 2) verarbeitet.
Obwohl auch hier der Dampf die Turbine noch mit einer gewissen Mindestgeschwindigkeit verlassen muss, sprechen wir von zweifacher Geschwindigkeitsstufung (Curtis-Turbine).

Siehe hierzu Antwort # 5 vom 17.10.2010.
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html

Bekanntlich tritt der Dampf gegen die Drehrichtung wieder aus den Laufschaufeln aus. Bevor er also weiteren Laufschaufeln zugeführt werden kann, ist er durch geeignete Vorrichtungen in Drehrichtung umzulenken. Das geschieht in der Regel durch feststehende, so genannte Leitschaufeln.
Im Großbetrieb sind diese Leitschaufeln auf festen Schaufelkränzen über den gesamten Umfang verteilt.

Wir erinnern uns an die geringe Dampf-Beaufschlagung der Turbinen-Räder unserer Berechnungsbeispiele. Soll heißen, dass selbst bei Modell-Dampfturbinen etwas höherer Leistung nur eine Düse zum Einsatz kommt. Es werden demnach nur jeweils ein bis zwei Laufschaufelkanäle vom Dampf durchströmt und es liegt nahe, dass der aus ihnen austretende Dampf auch nur wenige Leitschaufeln beaufschlagt.
Warum sollte also ein vollständiger Leitschaufelkranz zwischen die Stufen geschaltet werden?

Selbst wenn man zur Umlenkung nur einige Leitschaufeln in der Nähe der Düsen vorsehen würde, wäre der Aufwand durch ein zweites Laufrad mit der erzielbaren Leistungszunahme nicht zu rechtfertigen. Der Anteil einer zweiten Geschwindigkeitsstufe an der Gesamtleistung beträgt wegen der Umlenkverluste in den Leitschaufeln nur etwa 25 %.
Geschwindigkeitsstufung bewirkt zwar eine wirkungsvolle Herabsetzung des optimalen Verhältnisses u/c₁, es liegt bei zwei Stufen bei 0,25 und bei drei Stufen bei 0,16, aber mit zunehmender Stufenzahl steigen die Umlenkverluste, hierdurch sinkt der Wirkungsgrad am Radumfang η_u deutlich ab (Bild 14).

Dem Modell-Dampfturbinenbau bietet sich eine günstigere und weniger aufwändige Lösung der Geschwindigkeitsstufung durch das wiederholte Beaufschlagen eines Laufrades über Leit- bzw. Umlenkkammern (Bild 15).
Diese Bauweise wurde bereits seit Beginn des vorigen Jahrhunderts im Großbetrieb für den Antrieb von kleineren Hilfsmaschinen angewendet und zeichnet sich durch besondere Einfachheit aus. Hierbei entfallen nicht nur die aufwändigen Leitschaufeln, sonder auch das zweite Laufrad bzw. der zweite Laufschaufelkranz  (,,Elektraturbine" von Kühnle, Kopp & Kausch in Frankenthal).

In den Leit- bzw. Umlenkkammern wird der Dampf umgelenkt, nachdem er die Laufschaufeln durchströmt hat. Der Dampf wird von der anderen Seite, aber an einer anderen Stelle dem Schaufelkranz wieder zugeführt. Deshalb werden die Laufradschaufeln symmetrisch gestaltet, das heißt die Schaufelwinkel sind auf beiden Seiten gleich.
Diese Bauweise erbringt eine wünschenswerte Herabsetzung des optimalen Verhältnisses u/c₁. 
Der Wirkungsgrad am Radumfang η_u liegt trotz größerer Strahlumlenkung in den Kammern, nur unwesentlich niedriger als in Bild 14 dargestellt.

In den nächsten Beiträgen werden wir die Berechnung einer solchen Modell-Dampfturbine behandeln, sowie die Bemessung und Konstruktion ihrer Leitkammer.

Berechnungsbeispiel
Wir legen für unsere Beispiel-Turbine folgende Daten fest:

Zweistufige Gleichdruck-Modell-Dampfturbine mit einfacher Düse.
Geschwindigkeitsstufung durch wiederholte Beaufschlagung.
Betriebsdruck p₁ = 1,7 at_a (überhitzt, t_ü = 125 ⁰C).
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).
Theoretisches Wärmegefälle h_t = 22 kcal/kg
Laufrad-Durchmesser am Schaufelfuß D_F ≈ 75 mm*.
Drehzahl n = 20.000 ¹/min.

*) ...der genaue Rad-Durchmesser ergibt sich durch Schaufelteilung und Schaufellänge.

Zur besseren Vergleichbarkeit gehen wir damit weitgehend von den Ausgangswerten aus, die wir auch bei unseren Übungen bzw. der Berechnung der einstufigen Modell-Dampfturbine zu Grunde legten.

Dampfgeschwindigkeit c₁ = 400 m/s.
Umfangsgeschwindigkeit u = 80 m/s.

Es ergibt sich also wiederum ein Verhältnis u/c₁ = 0,2.
Nach Bild 14 lässt dieser Wert bei Zweistufigkeit einen höheren Wirkungsgrad η_u = 0,57 und somit ggf. eine erhöhte Turbinenleistung erwarten. Wir werden aber auch die Minderung des Dampfverbrauchs bei gleich bleibender Leistung untersuchen.

Bevor wir den Geschwindigkeitsplan zeichnen, erinnern wir uns an die Aussage, dass bei  mehrstufigen Modell-Dampfturbinen vorzugsweise ein etwas größerer Düsenwinkel α₁ gewählt wird. Bei größerem Düsenwinkel werden auch die anderen Winkel größer. Damit verringern sich die Umlenkwinkel γ und die Umlenkverluste. Bei wiederholter Beaufschlagung ist ein möglichst kleiner Leitkammer-Umlenkwinkels anzustreben.

Wir wählen Düsenwinkel α₁ = 22⁰ und zeichnen den Geschwindigkeitsplan (Bild 16).

Wir zeichnen auf bekannte Weise unter dem Düsenwinkel α₁ = 22⁰ eine Linie durch den Schnittpunkt von Rad- und Achsebene nach links, tragen die Strecke für c₁ = 400 m/s an und erhalten am freien Ende von u = 80 m/s den Wert w₁ = 328 m/s und den Winkel β₁ = 27⁰.

Bei wiederholter Beaufschlagung sind symmetrische Schaufeln zwingend. Damit ist der auch der Austritts-Winkel β₂ = 27⁰ und der Winkelmittelwert β' = 27⁰.
Wir entnehmen einer entsprechenden Kurve für β' = 27⁰ einen Schaufel-Verlustbeiwert ψ_S = 0,85 oder wir interpolieren die o. a. Erfahrungswerte.
Die relative Austritts-Geschwindigkeit w₂ = 279 m/s erhalten wir durch die Multiplikation w₂ = w₁ •  ψ_S und wiederum nach Anlegen von u = 80 m/s die Austrittsgeschwindigkeit c₂ = 210 m/s unter dem Austritt-Winkel α₂ = 37⁰.

Das Zeichnen der zweiten Stufe unterscheidet sich bei wiederholter Beaufschlagung geringfügig von der bisher bekannten Vorgehensweise, denn der Schaufel-Eintrittswinkel der zweiten Stufe β'₁ = 27⁰ steht bereits fest. Stattdessen, muss der zugehörige Austrittswinkel α'₁ der Leitkammer ermittelt werden. Die Umlenkung durch die Leitkammer ist gestrichelt gezeichnet.
Wir zeichnen also die Radebene der zweiten Stufe und ziehen eine Linie unter dem bekannten Schaufelwinkel β'₁ = 27⁰ durch den Schnittpunkt nach links und eine zweite Linie parallel hierzu im Abstand der Umfangsgeschwindigkeit u. Hierzu markieren wir vorher auf der Radebene in Drehrichtung (links) u = 80 m/s.

Wir ermitteln nun durch Versuche den entsprechenden Leitkammer-Austrittswinkel α'₁.
Der Leitkammer-Austrittswinkel α'₁ hängt von der Austritts-Geschwindigkeit c'₁ ab und diese wiederum vom Umlenkwinkel γ der Leitkammer bzw. von deren Verlustbeiwert ψ_L.

Wir wählen für den Winkel α'₁ probeweise einen Wert zwischen 12⁰ und 18⁰.
In unserem Fall ergab sich α'₁ = 13⁰.

Der Leitkammer-Umlenkwinkel γ errechnet sich aus:

γ = 180⁰ - (α₂ -  α'₁) = 180⁰ - (37⁰ - 13⁰) = 180⁰ - 24⁰ = 156⁰.

Die Verlustbeiwert-Kurve*) nennt uns für γ = 156⁰ einen Verlustbeiwert ψ_L = 0,74.
Wir rechnen:

Leitkammer-Austrittsgeschwindigkeit c'₁ = c₂ ∙ ψ_L  = 210 ∙ 0,74 = 155 m/s.

Wir nehmen die entsprechende Strecke für c'₁ in den Zirkel und schlagen um den Schnittpunkt der zweiten Stufe einen kurzen Bogen zur parallelen Hilfslinie des Winkels β₁.
Am gefundenen Schnittpunkt legen wir u = 80 m/s an und finden den Wert der relativen Eintrittgeschwindigkeit w'₁ = 80 m/s.
Wir messen Winkel α'₁ und prüfen auf Übereinstimmung mit dem gewählten Winkel α'₁.
Wir starten ggf. einen weiteren Versuch mit einem anderen Winkelwert.

Der Schaufel-Verlustbeiwert ψ_S = 0,85 ist uns bereit aus den Berechnungen der ersten Stufe bekannt und ermitteln in bekannter Weise die

Dampfgeschwindigkeiten w'₂ = 68 m/s und  c'₂ = 36 m/s.

Die Austrittsgeschwindigkeit c'₂ hat einen erwünscht niedrigen Restwert und eine fast axiale Austrittsrichtung (≈ 115⁰).

*) ...steht eine entsprechende Kurve nicht zur Verfügung, können wir mit ausreichender Genauigkeit folgend Erfahrungswerte zu Grunde legen bzw. ihre Zwischenwerte interpolieren.

γ = 170⁰ → ψ_L ≈ 0,6
γ = 160⁰ → ψ_L ≈ 0,7
γ = 150⁰ → ψ_L ≈ 0,75
γ = 140⁰ → ψ_L ≈ 0,8

Hallo Georg

es ist unglaublich wieviel Arbeit du in deine erstklassigen Beiträge reinsteckst. top top top :O-_ :O-_

liebe Grüße

Hans

Hallo Hans,
das Zeitintensivste ist das anschließende Editieren der Hoch- bzw. Tiefstellungen des einkopierten Word-Textes. Beim Editieren verspingt mir im Eingabefeld ständig der Curser und fange wieder von vorne an.

hallo Turbo -Georg , als Techniker lese ich gerne Deine überaus kompetenten Fachthemen über Dampfmaschinen und
Turbinen die auf wissenschaftlichem Niveau ausgearbeitet wurden . Schade dass von der Forumsleitung nicht der
Titel Dr.h.c. Ing. Dir verliehen werden kann .
                                                                                     es grüsst Halina

Hallo Halina,
was Du schreibst finde ich sehr nett, vielen Dank. Es müssten dann aber einige Autoren dieses Forums einen Ehrentitel erhalten.

Übrigens: Ich wurde gerade zum Fähnrich befördert. Ist das nichts?

moin Georg , herzlichen Glückwunsch zu Deiner Beförderung . Eigentlich müssten Deine Referate mindestens mit der
zweifachen Punktzahl bewertet werden . Ja es gibt im Forum auch einige Fachleute ,deren Beiträge mir sehr gut gefallen
und sachlich mit sehr grosser Kompetenz eingestellt werden .
                                                                                             viel Erfolg weiterhin wünscht Halina

Zurück an die Arbeit.

Wir entnehmen dem Geschwindigkeitsplan in Bild 16 die vier Umfangskomponenten w_u und berechnen das innere Wärmegefälle h_i unserer zweistufigen Modell-Dampfturbine mit der Gleichung: h_i = u : 4189 • (w_1u + w_2u + w'_1u + w'_2u).

h_i = 80 : 4189 • (292 + 248 + 72 + 64) = 0,019 • 676 =  12,84 kcal/kg.

Damit wäre der innere Wirkungsgrad η_i = h_i : h_t  = 12,84 : 22 = 0,584
etwas günstiger als der Bild 14 entnommene Wirkungsgrad η_u = 0,57.

Wir runden wegen der Radreibungs- und Ventilationsverluste* auf h_i = 12,5 kcal/kg und rechnen weiter mit

                            Wirkungsgrad η_i = h_i : h_t  = 12,5 : 22 = 0,568 ≈ 0,57.

*) Die Ventilationsverluste setzen wir wegen des höherer Beaufschlagungsgrades bei wiederholter
     Beaufschlagung etwas niedriger an, als bei unserer einstufigen Modell-Dampfturbine.

Wir ermitteln den effektiven, spezifischen Dampfverbrauch 

d_e = 860 : h_i (kcal/kg) = 860 : 12,5 = 68,8 ≈ 69 kg/kWh.

Wir stellen die Gleichung der Dampfverbrauchsmenge G_sek um und errechnen die sich ergebende Leistung bei unveränderter Verbrauchsmenge G_sek.

N_Watt = (G_sek • 3600) : d_e = (0,48 • 3600) : 69 = 1728 : 69 = 25,0 Watt.

Gegenüber unserer einstufigen Turbine ergibt sich eine Leistungs-Steigerung von 25%.
Bei gleich bleibender Leistung errechnen wir eine geringere Verbrauchsmenge G_sek.

G_sek = (d_e • N_Watt) : 3600 = (69 • 20) : 3600 = 1380 : 3600 = 0,38 g/s.

Diese geringere Dampfverbrauchsmenge benötigt einen kleineren Düsen-Querschnitt F_min.                                               

F_min = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,38 • 1,7 • 1000) : 400 = 646 : 400 = 1,61 ≈ 1,6 mm².

Wir geraden also schnell an die Grenze der Herstellbarkeit von Düse und Schaufeln.

Bei unserem weiteren Vorgehen bleiben wir bei der erhöhten Leistung von N = 25 Watt und einer Düsen-Querschnittsfläche  F_min = 2 mm². 
                                           
Im kommenden Beitrag konstruieren wir das neue Schaufelprofil und behandeln wieder den Verlauf der Expansionskurve im h-s-Diagramm.

Bekanntlich haben wir beim Berechnungsbeispiel einer zweistufigen Modell-Dampfturbine zur besseren Vergleichbarkeit die Dampfwerte der einstufigen Beispielturbine übernommen.
Damit ist auch die Darstellung und die Positionierung des theoretischen Wärmegefälles h_t sowie die Expansionslinie zum Punkt A₁ (Düsenverlust
h_d = 3 kcal/kg)  im h-s- Diagramm identisch.

Wir können nun das innere Wärmegefälle h_i = 12,5 kcal/kg  von oben abtragen und finden den Punkt A₄ des Abdampfes.
Wegen des höheren Wirkungsgrades η_i und damit der geringeren Verlust-Wärme im Dampf, liegt der Punkt A₄ nunmehr zwar leicht unterhalb der Sättigungslinie x = 1, aber noch innerhalb einer Toleranz von 1 % (Bild 17).
Wir erinnern uns, dass im Großbetrieb bei entsprechenden Maßnahmen zur Entwässerung, am Ausgang der Nd-Stufen Dampfnässen bis 12 % 
(x = 0,88) zulässig waren.

http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html  Antwort #13 vom 2.11.2010

Der Abstand zum Punkt A₃ ist durch den geschätzten Verlust-Anteil für Radreibung und Ventilation h_rv = 0,34 kcal/kg gerade noch darstellbar.
Ähnlich verhält es sich beim Abstand zum Punkt A₂.

Wir berechnen hierzu den Austrittsverlust h_a = c₂² : 8378 = 36² : 8378 ≈ 0,15 kcal/kg.

Der Austrittsverlust h_a ist also ebenfalls auf einen kaum noch darstellbaren Wert gefallen.
Die Verlustwerte wurden zum besseren Verständnis wiederum an die Skale des Wärmegefälles angetragen.

Wie sich die übrigen 6 kcal/kg des Schaufelverlustes h_s am Punkt A₂ zusammensetzen, werden wir wieder Übungsweise untersuchen.
Wir berechnen die einzelnen Verluste in der Strömungsrichtung des Dampfes und beginnen mit dem Schaufelverlust der ersten Stufe:

h_s1 = (w₁² : 8378) • (1 - ψ_S²) = (328² : 8378) • (1- 0,85²) = 12,84 • 0,27 ≈ 3,5 kcal/kg,

dann dem Schaufelverlust der Leitkammer:

h_sL = (c₂² : 8378) • (1 - ψ_L²) = (210²  : 8378) • (1 - 0,74²) = 5,26 • 0,45  ≈ 2,3 kcal/kg,

und zuletzt dem Schaufelverlust der zweiten Stufe:

h_s2 = (w'₁² : 8378) • (1 - ψ_S²) = (80² : 8378) • (1 - 0,85²) = 0,76 • 0,27 ≈ 0,2 kcal/kg.

Vergleichen wir beide h-s-Diagramm-Darstellungen, stellen wir fest, dass sich die Verluste der zweistufigen Modell-Dampfturbine auf die mehr oder weniger physikalisch bedingten Verluste in Düse, Laufschaufeln und Leitkammer beschränken. Einer weiteren Optimierung dieser Bauform sind damit recht enge Grenzen gesetzt.

 Wir haben die Dampfwerte für dieses Berechnungsbeispiel von der einstufigen Modell-Dampfturbine übernommen. Bei einer Dampfmenge
G_sek = 0,48 g/s bleiben demnach nicht nur der Düsenquerschnitt F_min = 2 mm², sondern auch die Schaufelkanalbreite e = 1,15 mm unverändert.
Wir ermitteln somit für die Schaufeln unserer zweistufigen Modell-Dampfturbine ebenfalls einen  Krümmungsradius r = 2 • e = 2 • 1,15 = 2,3 mm.
Durch die veränderten Winkel β₁ = 27⁰ und β₂ = 27⁰ ergibt sich allerdings eine andere Schaufelteilung T_S.

T_S = r : (2 sin β') = 2,3 : (2 sin 27⁰) = 2,3 :  (2 • 0,45) = 2,3 : 0,9 = 2,55 ≈ 2,6 mm.

Wir ermitteln die Schaufelanzahl z_S:

z_S = (D_F • π ) : T_S = (75 • 3,14) : 2,6 = 235,5 : 2,6 = 90,5.

Wir wählen z_S = 90 Schaufeln und korrigieren wieder den Schaufelfuß-Durchmesser

D_F = (90 • 2,6) : 3,14 = 74,5 mm.

Wir unternehmen einen Konstruktions-Versuch des Schaufelprofils (Bild 18).
Sind die Schaufeln zu schmal, um ggf. Bohrungen zur Befestigung der Schaufeln oder eines Deckbandes einzubringen, starten wir einen weiteren Entwurf mit etwas vergrößerter Schaufelteilung T_S. Dann ändern sich allerdings auch Schaufelzahl z_S und der Durchmesser am Schaufelfuß D_F.

Für die Konstruktion der Leitkammer benötigen wir deren Durchtrittsquerschnitte.
Bei den Berechnungen der Querschnitts-Flächen legen wir das etwas höheres spezifisches Volumen v = 1,72 m³/kg am Punkt A₂ zu Grunde.
Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 210 = 825,6 : 210 = 3,93 ≈ 4 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA  = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 155 = 825,6 : 155 = 5,32  ≈ 5,4 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

F_A = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 36 = 825,6 : 36 = 22,9 ≈ 24 mm².

Bei einer unveränderten Kanalhöhe a = 2 mm (Bild 19) ergeben sich folgende Kanalbreiten:

b_LE  = 4 : 2 = 2 mm,

b_LA = 5,4 : 2 = 2,7 mm,

b_A = 24 : 2 = 12 mm.

Bild 20 zeigt den bemaßten Schaufelschnitt der zweistufigen Modell-Dampfturbine mit Düse und Leitkammer.
Wie eine Leitkammer konstruiert wird, behandeln wir im nächsten Beitrag.

Konstruktion der Leitkammer
Wir zeichnen die Leitkammer ebenfalls mit einer Konstruktionshilfe (Bild 21).
Die Darstellung der Schaufeln verdeutlicht den Dampfweg; in der Praxis können wir darauf verzichten.
Wir zeichnen von der hinteren Düsenkante die Hilfslinie a und finden den Eintrittspunkt p⁰. Durch den Punkt p⁰ ziehen wir die Linie b im rechten Winkel zum Eintrittswinkel α₂.
Mit dem Zirkel schlagen wir einen kurzen Bogen vom Punkt p⁰ zur Linie b mit dem Radius

                                                              r₂ = b_LE + r₁

und finden den Mittelpunkt m der Kammer-Krümmung. Um die Reibungswege kurz zu halten wählen wir einen möglichst kleinen Radius r₁ (ca.1 bis 1,5 mm).
Durch den Mittelpunkt m zeichnen wir senkrecht zum Leitkammer-Austrittswinkel α'₁ die Linie c.
Vom Mittelpunkt m schlagen wir Kreisbögen von der Linie b zur Linie c mit den Radien r₁ und r₂.
Wir schlagen weiterhin den Bogen der Kammer-Mittellinie von Linie b nach Linie c und verlängern die Mittellinie jeweils unter den Winkel α₂ und α'₁ bis zum Querspalt.
Parallel zur Mittellinie zeichnen wir im Abstand der halben Austrittsbreite b_LA  die beiden Hilfslinien d¹ und d² und finden den Punkt p¹. Vom Punkt p¹ ziehen wir senkrecht zur Mittellinie (Winkel α'₁) die Linie e und finden am Schnittpunkt mit der Linie d² den Punkt p².
Wir verbinden die Punkte p¹ und p² mit den Bögen der Krümmung an der Linie c und verlängern vom Punkt p² die Linie der Kammerwand parallel zur Mittellinie bis zum Querspalt.

Zum verlustfreien Dampfübertritt in die Kammer bei Teilanschnitt der Schaufeln, wird die hintere Eintrittskante der Leitkammer etwas in Laufrichtung verschoben. Hierzu verkleinern wir den Winkel der Kammerwand (gestrichelte Linie) um etwa 10⁰. Wir zeichnen also die Linie der Kammerwand von Bogen r₁ an der Linie b unter dem Winkel α₂ - 10⁰ zum Querspalt.
Vom Punkt p¹ zeichnen wir senkrecht zur Laufrichtung die Linie f und erhalten an der Gegenseite die hintere Kante des Dampfaustritts mit der Breite b_A. 
Zur Vermeidung von Kantenstößen muss sowohl bei der Leitkammer als auch beim Dampfaustritt die jeweilige Eintrittseite durch Abschrägen erweitert werden (siehe Bild 19).

Wunderbare Herangehensweise und extrem Informativ.  top top
Ich verstehe zwar nicht alles, aber doch immerhin etwas  :-)

Mehrstufige Modell-Dampfturbinen mit Druckstufung
Mit einer kleinen zeitlichen Verzögerung setzen wir unsere Betrachtungen fort.
Wir wissen aus den verschiedenen Beiträgen, dass bei Dampfturbinen neben der Geschwindigkeitsstufung auch die Druckstufung eine Möglichkeit bietet, das für einen hohen Wirkungsgrad verantwortliche Geschwindigkeitsverhältnis u/c₁ durch Herabsetzung der Dampfgeschwindigkeit c₁ zu optimieren.

http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html    #2 vom 20.08.2010
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html    #6 vom 18.10.2010

Wir wissen aber auch, dass für die gleiche Minderung der Dampfgeschwindigkeit c₁  mehr Druckstufen als Geschwindigkeitsstufen benötigt werden. Wegen des damit verbundenen hohen Bauaufwandes ist die Anwendung von reiner Druckstufung für den Modellbau ungeeignet.
Während des Stufenweisen Abbaues eines hohen Dampfdruckes oder besser eines hohen Wärmegefälles, nimmt das spezifische Volumen des Dampfes ständig zu. Dem muss durch kontinuierliche Vergrößerung der Durchtrittsquerschnitte Rechnung getragen werden.
Nicht nur die unterschiedlichen Beschaufelungen und Abmessungen der Laufräder in den einzelnen Druckstufen dürften kaum lösbare Probleme bereiten, sondern auch die Konstruktion und Herstellung der Druckkammern, deren druckdichte Zwischenböden mit integrierten Düsen, sowie den Stopfbuchsen zur druckdichten Durchführung der Turbinenwelle stellen für den Modellbau einen nicht zu rechtfertigten Aufwand dar.

Kombinieren wir jedoch die Bauformen und beschränken uns dabei auf zwei Druckstufen mit jeweils zwei Geschwindigkeitsstufen mit wiederholter Beaufschlagung, können wir den günstigeren Wirkungsgrad von Druckstufen mit der hohen Absenkung der Dampfgeschwindigkeit c₁ in Geschwindigkeitsstufen verbinden.
(siehe Bild, ,,Vierstufige Modell-Dampfturbine" in #3 des ersten Links).
Durch die Aufteilung eines höheren Wärmegefälles auf zwei Druckstufen, werden die Dampfgeschwindigkeiten in verarbeitbaren Grenzen gehalten, ohne auf den Vorteil einer größeren Wärmemenge verzichten zu müssen. Die im Dampf verbleibende Verlustwärme der ersten Druckstufe wird in der zweiten Druckstufe verarbeitet; erst hier geht Wärme über den Abdampf verloren (Bild 3 unten).

Dampfturbinen mit Druckstufung durch Zwischenböden stellen bekanntlich nichts anderes dar, als hintereinander geschaltete Einzelturbinen. Das wird in der Antwort #2 des ersten Links und rechts in dem zugehörigen Bild ,,Gleichdruck-Turbinen" verdeutlicht.
Wir könnten demnach zwei zweistufige Modell-Dampfturbinen, wie oben ab #21 beschrieben bauen, sie Dampfseitig hintereinander schalten und ihre Wellen in geeigneter Weise verbinden.
Das hintereinander Schalten bedeutet, dass der Ausgang der ersten Turbine (HD) mit dem Eingang der zweiten Turbine (ND) verbunden wird. Das verfügbare Wärmegefälle des Dampfes wird auf beide Turbinen verteilt.
Wenn also unsere Beispiel-Turbine für ein theoretisches Wärmegefälle h_t = 22 kcal/kg ausgelegt ist, wird für zwei ,,baugleiche", hintereinander geschaltete Turbinen ein Gesamt-Wärmegefälle H_t = 44 kcal/kg benötigt. Der Betriebsdampf hätte somit einen höheren Wärmeinhalt. Die unveränderte Verbrauchsmenge G_sek = 0,48 g/s des nunmehr Energiereicheren Dampfes durchströmt nacheinander beide Turbinen, jede erbringt eine Leistung von 25 W, also insgesamt 50 W.

,,Baugleich" bedeutet: Baugleich mit Einschränkung.
Wir wissen, dass der Dampf auf seinem Weg durch beide Turbinen sein spezifisches Volumen ändert; zumindest die Durchström-Querschnitte der beiden Turbinen wären also nicht ,,baugleich".
Neben der o.a. Möglichkeit die beiden Druckstufen in getrennten Gehäusen unterzubringen und ihre Turbinenwellen zu koppeln, bietet sich die zweifellos elegantere Lösung eines gemeinsamen Gehäuses unter Verwendung eines druckdichten Zwischenbodens. Wie im Bild ,,Vierstufige Modell-Dampfturbine" in #3 des ersten Links dargestellt.
Der gleichzeitige Wechsel vom traditionellen Längsstrom- zum Querstrom-Prinzip erbringt trotz Mehrstufigkeit eine relativ kurze Baulänge, ein günstigeres Leistungsgewicht, auch eine vereinfachte Herstellung der Düsen und Leitkammern und der Laufräder-Beschaufelung.

Bei unserer weiteren Betrachtung gehen wir wiederum zum besseren Vergleich von unserem Berechnungsbeispiel einer zweistufigen Turbine aus.
Wir setzen jeweils eine der Beispiel-Turbinen als Hoch-Druckstufe (HD) und eine als Nieder-Druckstufe (ND) ein. Als Stufengefälle der Druckstufen, wir nennen sie h_t1 und h_t2, übernehmen wir das Gefälle h_t = 22 kcal/kg unserer zweistufigen Turbine. Damit entsprechen auch die Dampfgeschwindigkeiten in den Druckstufen dem Geschwindigkeitsplan der zweistufigen Turbine (Bild 16).
Die einzelnen Verluste in den Druckstufen sind ebenfalls weitgehend mit denen der zweistufigen Modell-Dampfturbine identisch.
Wir können also einfacher Weise die Expansionslinie aus dem h-s-Diagramm (Bild 17) in das h-s-Diagramm unserer Modell-Dampfturbine mit zwei Druckstufen (Bild 22) übertragen.
Die Position der Expansionslinie unserer ND-Stufe ist dabei mit der, unserer zweistufigen Turbine identisch. Die Expansionslinie der HD-Stufe positionieren wir so, dass sich ihr Punkt A₄ mit dem Punkt p₁' = 1,7 at_a (Stufendruck) der ND-Stufe deckt.
Korrekter Weise müsste der Punkt A₄ der Expansionslinie der HD-Stufe auf gleicher Höhe etwas weiter links angesetzt werden, um auch die Druck- bzw. Temperaturverluste in der Überströmleitung zur ND-Stufe auszugleichen (etwa 0,1 bis 0,15 at_a). Diese Verluste können aber ggf. auch über ein kleines Frischdampfventil am Überströmrohr ausgeglichen werden; es dient dann gleichzeitig der Vorwärmung der ND-Stufe nach längeren Betriebspausen. Zur Kontrolle des Stufendruckes (p₁' = 1,7 at_a) ist dann ein kleines Kontroll-Manometer vorzusehen.

Wir können nun dem h-s-Diagramm (Bild 22) folgende Werte entnehmen:

theor. Gesamt-Wärmegefälle H_t = 44 kcal/kg,
theor. Stufengefälle h_t = 22 kcal/kg,
Turbinen-Betriebsdruck p₁ = 2,8 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C),
Stufendruck p₁' = 1,7 at_a, (überhitzt, t_ü = 125⁰ C),
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).

Das spezifische Dampfvolumen am Düsenausgang (A₁) unserer HD-Stufe ist mit  v = 1,15 m³/kg  geringer als bei unserer zweistufigen Turbine. Unter Beibehaltung der Dampf-Verbrauchsmenge G_sek = 0,48 g/s wäre die Düsen-Querschnittsfläche der HD-Stufe

F_min1 = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,48 • 1,15 •1000) : 400 = 552 : 400 = 1,38 ≈ 1,4 mm².

Sie liegt damit an der Grenze der Herstellbarkeit. Wir bestimmen die Düsen-Querschnittsfläche der HD-Stufe F_min1 = 2 mm² und errechnen mit der umgestellten Gleichung die sich ergebende Dampf-Verbrauchsmenge.

G_sek = (F_min • c₁) : (v • 1000) = (2 • 400) : (1,15 • 1000) = 800 : 1150 = 0,695 ≈ 0,7 g/s
                                                                       
Die höhere Dampfmenge G_sek erfordert auch eine Korrektur der Querschnittsfläche der Düse der ND-Stufe;

F_min2 = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,7 ∙ 1,72 ∙ 1000) : 380 = 1204 : 400 = 3,01 ≈ 3,0 mm².

Bei unserer Kanalhöhe a = 2 mm ergeben sich folgende Düsenkanalbreiten:

HD-Düsenkanalbreite b₁ = 2,0 : 2 = 1,0 mm,
ND-Düsenkanalbreite b₂ = 3,0 : 2 = 1,5 mm.

Im Realisierungsfall müssten wegen der erhöhten Dampfmenge G_sek, sowie des niedrigeren Dampfvolumens v in der HD-Stufe, auch die Strömungs-Querschnitte der Leitkammern und  Dampf-Austrittsöffnungen beider Druck-Stufen nachgerechnet werden. Die Beschaufelung der beiden Laufräder bleibt unverändert.

In den Druckstufen ist das jeweilige innere Stufen-Gefälle h_i = 12,5 kcal/kg und das

innere Gesamt-Gefälle H_i  = 25 kcal/kg.

Der Gesamt-Wirkungsgrad η_i = H_i : H_t = 25 : 44  = 0,57.

Der spezifische Dampfverbrauch       

d_e = 860 : 25 = 34,4 kg/kWh.

Wir errechnen nach Umstellung der Gleichung eine

Leistung N_i = (0,7 ∙ 3600) : 34,4 = 2520 : 34,4 = 73,25 ≈ 73 Watt.

Wir sehen, dass sich durch diese Stufen-Anordnung der spezifische Dampfverbrauch d_e gegenüber unserer zweistufigen Turbine halbiert und sich die Leistung ohne die konstruktiv bedingte Erhöhung der Dampfmenge G_sek verdoppeln würde.
Der Gesamt-Wirkungsgrad η_i = 0,57 entspricht dem Wirkungsgrad unserer zweistufigen Turbine.
Worin besteht demnach die höhere Wirtschaftlichkeit der Druckstufung?
Bei der Beurteilung der Wirtschaftlichkeit müssen wir die Dampferzeugung in die Betrachtung einbeziehen.
Ich habe zum besseren Verständnis den Ausschnitt aus dem h-s-Diagramm in Bild 22 links mit den Werten des Dampf-Wärmeinhaltes i (Enthalpie des Dampfes) versehen.
Wir erkennen, dass der Wärmeinhalt i des Betriebsdampfes unserer zweistufigen Turbine, in Bild 22 mit p₁' identisch, 650 kcal/kg beträgt. Der Wärmeinhalt i des Betriebsdampfes unserer Turbine mit Druckstufung im gleichen Bild mit p₁ bezeichnet, beträgt 662 kcal/kg.

Das bedeutet: Der Verdoppelung des Wärmegefälles von 22 kcal/kg auf 44 kcal/kg, und somit auch einer Verdoppelung der Leistung, steht lediglich eine Erhöhung an Erzeugungswärme von 12 kcal/kg gegenüber.
Fazit: Bei unserer Modell-Dampfturbinenanlage würde durch die Verwertung der Verlustwärme der HD-Stufe in der ND-Stufe, der spezifische Gasverbrauch pro Watt sinken. 

Wir fassen das Ergebnis unserer Betrachtung zu folgenden Merkmalen zusammen:

-   vierstufige Gleichdruck-Turbine mit einfachen Düsen
-   zwei Druckstufen mit je zwei Geschwindigkeitsstufung durch wiederholtes Beaufschlagen
-   Kesseldruck p = 3 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C), 
-   Turbinen-Betriebsdruck p₁ = 2,8 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C), 
-   Stufendruck   p₁' = 1,7 at_a, (überhitzt, t_ü = 125⁰ C),
-   Gegendruck   p₀ = 1 at_a, (Auspuffbetrieb),
-   Drehzahl n = 20.000 1/min,
-   Leistung N_i = 73 Watt
-   Wirkungsgrad η_i = 0,57
-   Dampf-Verbrauchsmenge G_sek = 0,7 g/s

Diese ,,vierstufige" Modell-Dampfturbine stellt trotz etwas höherem Bauaufwands einen sehr wirtschaftlichen und leistungsfähigen Antrieb für größere Modelle dar.

Zum Abschluss dieses Beitrages berechnen wir noch zur Übung die Durchtrittsquerschnitte der Leitkammern und Dampfaustritte beider Druckstufen. Das spezifische Volumen am Punkt A₂ der HD-Stufe setzen wir mit v = 1,17 m³/kg wiederum etwas höher an, als an deren Düsenausgang (Punkt A₁). Die Dampfgeschwindigkeiten entnehmen wir dem Geschwindigkeitsplan unserer zweistufigen Modell-Dampfturbine (Bild 16).

HD-Stufe

Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE1 = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 210 = 819 : 210 = 3,9 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA1  = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 155 = 819 : 155 = 5,28  ≈ 5,3 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

_FA1 = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 36 = 819 : 36 = 22,75 ≈ 23 mm².


ND-Stufe

Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE2 = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 210 = 1204 : 210 = 5,7 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA2 = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 155 = 1204 : 155 = 7,76  ≈ 7,8 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

F_A2 = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 36 = 1204 : 36 = 33,44 ≈ 34 mm².


Ich danke Euch für das gezeigte Interesse.

Euer Turbo-Georg

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Bei Interesse kurze PN mit Email-Adresse.

Liebe Freunde der Modelldampfturbine,
es zeigt sich im Nachhinein doch als angebracht, auch die Düsen für überkritische Dampfgeschwindigkeiten, also Wärmegefälle über 22 bis 24 kcal/kg, sowie deren Berechnung zu behandeln.
Wann kommen im Dampfmodellbau  solche Düsen zum Einsatz?

Nun, es handelt sich um Grenzfälle, in denen nach Abwägung von Aufwand und Nutzen eine begrenzte Leistungserhöhung durch ein Wärmegefälle sinnvoll erscheint, bei dem in den Düsen die kritische Dampfgeschwindigkeit c_k überschritten wird.

Bekanntlich arbeiten Modelldampfturbinen mehrheitlich im Auspuff-Betrieb, das heißt, der Dampfdruck am Ausgang der Turbine, auch Gegendruck p₀ genannt, entspricht dem atmosphärischen Umgebungsdruck (1at_a).
Erhöhen wir das theoretische Wärmegefälle h_t, so bedeutetet das in der Regel eine Erhöhung des Dampfdrucks p₁ bzw. eine Erhöhung der Überhitzungstemperatur t_ü.
In beiden Fällen heißt das aber auch, dass die Dichte des Dampfes steigt, also sein spezifisches Volumen v abnimmt.
Darüber hinaus bewirkt ein größeres Wärmegefälle h_t eine höhere theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀.

Ein geringeres spezifisches Volumen v und eine höhere Dampfgeschwindigkeit c₀ erfordern jedoch bei gleicher Dampfmenge G nach der Bernuolli-Gleichung einen kleineren Düsenquerschnitt F_min.
Wir kommen damit in kleinen bis mittleren Leistungsbereichen sehr schnell an die praktisch sinnvolle Grenze der Düsenabmessungen bzw. deren Herstellbarkeit.

Uns ist aber auch bekannt, dass wegen des so genannten Laval-Drucks, auch als kritischer Druck p_k bezeichnet, das zu verarbeitende Wärmegefälle und somit die Dampfgeschwindigkeit in einer einfachen Düse nicht beliebig gesteigert werden kann.
Die maximal erreichbare Dampfgeschwindigkeit am Düsenquerschnitt F_min ist die Schallgeschwindigkeit des Dampfes, kritische Geschwindigkeit c_k genannt.

Bei Sattdampf entspricht:
Kritischer Druck p_k = p₁ • 0,58,
kritische Geschwindigkeit c_k ≈ 450 m/s,
also einem
theoretischen Wärmegefälle h_t ≈ 24 kcal/kg.
Wir stellen hierzu die bekannte Gleichung um:
 
h_t = (c_k : 91,5)² = (450 : 91,5)²  ≈ 4,9² ≈ 24 kcal/kg.

http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html   Seite 1
http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html  Antwort # 5

Hiernach können größere Wärmegefälle nur in so genannten Laval- oder erweiterten Düsen verarbeitet werden.

Untersuchungen zeigten, dass der Schrägabschnitt einer einfachen Düse unter Umständen die Wirkung einer Düsenerweiterung haben kann. Das heißt, im Schrägabschnitt einfacher Düsen findet bei Überschreitung des kritischen Drucks p_k und der kritischen Geschwindigkeit c_k eine weitere Expansion statt.
Einfache Düsen können demnach bis zu einem gewissen Maß im überkritischen Druck- und Geschwindigkeitsbereich betrieben werden.
Damit bietet sich bei leicht überkritischen Wärmegefällen eine interessante Alternative zur erweiterten Düse.

Bei Modell-Turbinen sollte die Überschreitung des kritischen Drucks p_k nicht mehr als 25% betragen. In besonderen Fällen könnte man aber auf diese Weise in einfachen Düsen noch Wärmegefälle von bis zu h_t = 40 kcal/kg verarbeiten.

Lassen wir also im Schrägabschnitt unserer einfachen Düse den Dampf weiter expandieren, könnten wir den kritischen Druck p_k um max. 25% überschreiten.
Hierdurch würde sich der maximale Dampfdruck auf p₁ = 2,15 at_a  erhöhen.
Als Gleichung:

p₁ = (p₀ • 1,25) : 0,58  = 1,25 : 0,58 = 2,15 at_a

Das theoretisch verfügbare Wärmegefälle h_t wäre damit 31 kcal/kg und die Dampfgeschwindigkeit c₀ = 509 m/s (Bild 23).

Wegen dieser für Modellturbinen schon recht hohen Dampfgeschwindigkeiten könnten wir uns eigentlich die Behandlung erweiterter Düsen zur Verarbeitung noch größerer Wärmegefälle ersparen, wir werden aber dennoch darauf zurückkommen.

Bei der weiteren Expansion im Schrägabschnitt einer einfachen Düse wird der Dampfstrahl abgelenkt. Hierdurch vergrößert sich der Düsenwinkel α₁ auf α₁' (Bild 24)

Beim Zeichnen eines entsprechenden Geschwindigkeitsplanes ist dann der vergrößerte Düsenwinkel α₁' zu berücksichtigen.
Den vergrößerten Düsenwinkel α₁' ermitteln wir mit der Gleichung:

sin α₁' = [(v₁ ∙ c_k) : (v_k ∙ c₁)] ∙ sin α₁. 
                                             
v₁ (m³/ kg) = spez. Volumen am Düsenaustritt (Punkt A₁),
v_k (m³/kg) = spez. Volumen bei kritischem Druck p_k,
c₁ (m/s) = Dampf-Geschwindigkeit am Düsenaustritt,
c_k (m/s) = kritische Dampf-Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit c₁ errechnen wir aus dem theor. Wärmegefälle h_t sowie dem Düsenkoeffizienten φ und die Geschwindigkeit c_k aus dem kritisch. Wärmegefälle h_k.
Die Volumen v₁ und v_k entnehmen wir dem h–s – Diagramm an den entsprechenden Punkten (siehe Bild 23).
Steht kein Taschenrechner mit Winkel-Funktionen zur Verfügung entnehmen wir die Werte von sin α  einem Tabellenbuch.
http://www.europa-lehrmittel.de/leseprobe/331/1060X-44.pdf  Seite 11

Berechnungs-Beispiel:
Wir suchen den vergrößerten Winkel α₁' einer einfachen Düse mit einem Düsenwinkel α₁ = 16⁰ bei
p_k – Überschreitung um 25%.
Bei Auspuffbetrieb (p₀ = 1 at_a) ist damit der kritische Druck p_k  = 1,25 at_a und der
Betriebsdruck p₁ = 2,15 at_a.

Wir entnehmen dem h-s – Diagramm (Bild 23) folgende Werte:
Verfügbares Wärmegefälle h_t = 31 kcal/kg und kritisches Gefälle h_k = 22 kcal/kg,
Volumen bei Endruck v₁ = 1,7 m³/kg und Volumen bei kritischem Druck v_k = 1,4 m³/kg.
Wir errechnen die
kritische Geschwindigkeit* c_k = 91,5 ∙ √22 = 91,5 ∙ 4,41 = 429 m/s
und die
Geschwindigkeit c₁ = (91,5 ∙ √ 31) ∙ 0,93 = (91,5 ∙ 5,57) ∙ 0,93 = 509 ∙ 0,93 = 474 m/s.

Somit ist:

sin α₁' = [(1,7 ∙ 429) :  (1,4 ∙ 474)]  ∙ sin 16⁰  = (729,3 : 663,6) ∙ 0,275 = 1,1 ∙ 0,275 = 0,3025
               
sin ^-1 0,3025 = 17,60⁰    α₁' ≈ 17,6⁰.

*) Bei der Berechnung der kritischen Geschwindigkeit c_k gehen wir der Einfachheit halber von der Annahme aus, dass bei Überschreitungen > 25 % die Schallgeschwindigkeit des Dampfes erst im Schrägabschnitt erreicht wird. 

Wenn wir vermeiden wollen, dass der Düsenwinkel α₁' zu groß wird oder wenn wir von bereits feststehenden Schaufelwinkeln ausgehen müssen, können wir durch Umstellung der Gleichung zu einem bestimmten, vergrößerten Winkel α₁' den jeweils zugehörigen Düsenwinkel α₁ ermitteln.

sin α₁ = sin α₁' ∙  [(v_k  ∙ c₁) :  (v₁  ∙ c_k)].                                               
                           

Im folgenden Beitrag werden wir erweiterte Düsen (Laval-Düsen) behandeln.

Erweiterte Düsen (Laval-Düsen)
Sollen bei Modelldampfturbinen Wärmegefälle verarbeitet werden, bei denen der kritische Druck p_k und die kritische Dampf-Geschwindigkeit c_k um mehr als 25 % überschritten werden, kommen nur erweiterte Düsen in Frage.
Ich habe bereits oben die Gründe benannt, weshalb im Modellbau die Voraussetzungen für den Einsatz einfacher Düsen mit p_k- Überschreitung schon recht selten gegeben sind. Modelldampfturbinen bei denen sich die Verwendung von erweiterten Düsen als notwendig erweist, würden demnach einer Größenordnung  angehören, die über die üblichen Dimensionen des Modellbaus hinausgeht.

Bevor wir uns näher mit den erweiterten Düsen beschäftigen, betrachten wir nochmals die Zeichnung aus dem Beitrag ,,Schiffs-Dampfturbinen", mit ihrer Darstellung der Kurvenverläufe von Druck p und Geschwindigkeit c, in Abhängigkeit vom Anfangsdruck p₁ und der Düsenform (Bild 25).
Wir erinnern uns, dass vom Eingang einer Düse bis zu ihrem kleinsten Querschnitt F_min  der Anfangsdruck p₁ nur maximal bis zum kritischen Druck p_k in Bewegungsenergie umgewandelt werden kann. Auch die Dampfgeschwindigkeit c erreicht hier mit der Schallgeschwindigkeit des Dampfes ihren Maximalwert; die kritische Geschwindigkeit c_k.
Nur wenn in einer einfachen Düse der kritische Druck p_k gleich oder kleiner als der End- bzw. Gegendruck p₀ ist, kann der Dampf in einem wirbelfreien Strahl austreten (Bild 25a); ansonsten expandiert der Dampf hinter dem Düsenausgang schlagartig (Bild 25b).

In der, nach ihren Erfinder benannten Laval-Düse (Bild 25c) können hingegen hohe und höchste Wärmegefälle bzw. Dampfdrücke verarbeitet werden. Bekannter Maßen kann der Dampf in ihrer Erweiterung auf den Enddruck p_o expandieren und mit der entsprechend hohen Geschwindigkeit c₁ in einem wirbelfreien Strahl austreten. Voraussetzung ist allerdings die richtige Dimensionierung der Erweiterung. 
Ist die Erweiterung zu kurz, kann in ihr der Dampf nur bis auf den, ihrem Endquerschnitt entsprechenden Druck p_a expandieren und tritt mit Überdruck aus (p_a > p₀).
Ist die Erweiterung zu lang, also die Düsenmündung zu groß, wird der Dampf an irgendeinem Querschnitt bis auf den entsprechenden Druck expandieren, sich der Dampfstrahl von der Wand ablösen, um sich anschließend in einer Einschnürung wieder auf den Gegendruck p₀ zu verdichten. Dieser Druckanstieg geschieht unter heftiger Wirbelbildung und starken Schwingungen mit Umwandlung in Schallenergie.
Strahlablösung erfolgt auch bei zu großem Erweiterungswinkel γ (Gamma), er sollte 10⁰ nicht überschreiten.
Die Länge der Erweiterung l_E ergibt sich aus den Querschnitten F_min und F₁ sowie dem Erweiterungswinkel γ. 

...da staunt der Laie... :angel:

Georg, du bist unschlagbar. top :MG:

Grüße Ronny

Ronny,
ich freue mich über Deinen Kommentar.
Ich versuche auch weniger leichte Kost für ,,Laien" genießbar zu servieren.

Auch in einer erweiterten Düse fließt in der gleichen Zeit durch jeden Querschnitt die gleiche Dampfmenge G_sek.

Als Gleichung:  G_sek =  (F_min • c_k ) : v_k  =  (F₁ • c₁) : v₁

Wir können also zur Ermittlung der gesuchten Düsenquerschnitte F_min und F₁ wiederum die umgestellte Bernoulli- Gleichung anwenden.
Vorher müssen wir die anderen Größen bestimmen. Wir entnehmen die spezifischen Volumen v in gewohnter Weise einem h-s - Diagramm und errechnen die Dampfgeschwindigkeiten c aus dem jeweiligen Wärmegefälle h.

c_x = 91,5 • √ h_x.

Zuerst zeichnen wir im h-s- Diagramm zwischen dem Anfangsdruck p₁ und dem Enddruck p₀ die senkrechte Linie des theoretischen Wärmegefälles h_t.
Anschließend bestimmen wir den Punkt des kritischen Drucks p_k und entnehmen die Höhe des kritischen Gefälles h_k.
Wir setzen dabei, ggf. auch bei den vergleichsweise niedrigen Überhitzungs-Temperaturen des Modellbaus, den Multiplikator für Sattdampf (0,58) ein (siehe u.a. in Bild 23).

Also:  p_k = p₁ • 0,58.

Wir können nun mit der obigen Gleichung die Geschwindigkeiten errechnen.

c₁ = 91,5 • √ h_t      und     c_k = 91,5 • √ h_k

Wir errechnen den Düsenverlust.
Für den Düsenkoeffizienten setzen wir den bewährten Erfahrungswert φ = 0,93 aus unseren Übungen ein.

h_d = (1 - φ²) • h_t

und finden den Punkt A₁ der Expansionslinie.
An der Expansionslinie finden wir auf den Drucklinien p_k und p₀ (A₁) die entsprechenden Werte der spezifischen Volumen v_k und v₁.
Wir haben nunmehr alle Werte zur Berechnung der gesuchten Querschnittsflächen F_min und F₁ bestimmt.
Wir stellen hierzu die Bernoulli- Gleichung nach F (mm²) um.

F_x = (G_sek • v_x • 1000) : c_x  (mm²)
                                                                             
Demnach:

F_min = (G_sek • v_k • 1000) : c  (mm²)     und      F₁ = (G_sek • v₁ • 1000) : c₁ (mm²)         
                                                                                                                                                               
Dabei sind wie oben:

v₁ (m³/ kg) = spez. Volumen am Düsenaustritt (Punkt A₁),
v_k (m³/kg) = spez. Volumen bei kritischem Druck p_k,
c₁ (m/s) = Dampf-Geschwindigkeit am Düsenaustritt,
c_k (m/s) = kritische Dampf-Geschwindigkeit.

Bei Düsen mit rundem Querschnitt ermitteln wir zuerst die Durchmesser D_min und D₁ aus den beiden Querschnittsflächen F_min und F₁ mit der Gleichung:

D_x = √ [(F_x • 4) : π]
                                                                           
Die Länge der Düsen-Erweiterung l_E  ergibt sich dann aus:

l_E = (D₁ - D_min) : (2 • tan γ / 2)

und bei einem allgemein üblichen Erweiterungswinkel γ = 10⁰

l_E = (D₁ - D_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (D₁ - D_min) :  0,175.

Wir geben jedoch rechteckigen Düsenkanälen den Vorzug, denn bei den doch recht kleinen Querschnitten passt sich ihr Dampfstrahl optimaler an die ebenfalls rechteckigen Schaufelkanäle an und füllt sie besser aus.
In der Regel wird hierbei bereits vorher die Düsenkanalhöhe a entsprechend der Schaufelkanalhöhe (Schaufellänge l) festgelegt. Bei unseren o.a. Beispielen ist die kleinstmögliche Schaufellänge l = 2,5 mm und somit die Düsenkanalhöhe a = 2 mm.

Die entsprechende Düsenkanalbreite  an der engsten Stelle ist dann,

b_min = F_min : a

und an der weitesten Stelle,

b₁ = F₁ : a.

Die Länge der Erweiterung l_E berechnet sich damit aus:

l_E = (b₁ - b_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (b₁ - b_min) :  0,175.

Hallo Georg

möchte mich hier sehr herzlich für die vielen erste Klasse Beiträge bedanken. top top top top top top top
Die langen ja für eine Diplomarbeit :O-_
Ich hoffe dir geht es gut?

liebe Grüße aus Costa Rica

Hans

Gerne, Hans.

Mir geht es soweit gut und ich werde versuchen weiter interessante Fachbeiträge einzubringen.

Berechnungsbeispiel
Wir bestimmen die Abmessungen der erforderlichen erweiterten Düse zum Betrieb unserer einstufigen Modelldampfturbine (... erstes Berechnungsbeispiel) bei vollem Kesseldruck von ca. 2,5 bar (3,5 at_a), in der Hoffnung auf eine deutliche Leistungserhöhung. 

Wir legen fest:
Einstufige Gleichdruck-Modell-Dampfturbine mit erweiterter Düse.
Betriebsdruck p₁ = 3,5 at_a (Sattdampf, x =1),
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).
Drehzahl n = 20.000 ¹/min,
Laufrad-Durchmesser 80 mm,
Wir übernehmen zum besseren Vergleich auch wieder die sekündliche Dampfmenge der einstufigen Modelldampfturbine:

G_sek = 0,48 g/s.

Wir gehen in der oben beschriebenen Reihenfolge vor, zeichnen zuerst im h-s- Diagramm (Bild 26) die Senkrechte des theoretischen Wärmegefälles h_t zwischen dem Anfangsdruck p₁ und dem Enddruck p₀ und ermitteln:

h_t = 51 kcal/kg.

Wir berechnen den kritischen Druck

p_k = p₁ • 0,58 = 3,5 • 0,58 = 2,03 at_a

und finden das kritische Wärmegefälle

h_k = 23 kcal/kg.

Wir errechnen bei einem Düsenkoeffizienten φ = 0,93 einen Düsenverlust von:

h_d = (1 - φ²) • h_t = (1- 0,865) • 51 = 0,135 • 51 ≈ 6,9 kcal/kg

und finden den Punkt A₁ der Expansionslinie.

Wir ermitteln die kritische Geschwindigkeit

c_k = 91,5 • √ h_k = 91,5 • 4,79  ≈ 439 m/s.

Bei der Ermittlung der Düsen-Austrittsgeschwindigkeit c₁ können wir allerdings nicht wie oben vereinfacht dargestellt, von verlustfreier Strömung ausgehen sondern setzen in die Gleichung den Düsenkoeffizienten φ = 0,93 ein. Also:

c₁ = (91,5 • √ h_t) • φ = (91,5 • √ 51) • 0,93 = (91,5 • 7,14) • 0,93 = 653 • 0.93 = 608 m/s

Wir entnehmen dem h-s- Diagramm an den Drucklinien p_k und p₀ (A₁) die entsprechenden Werte der spezifischen Volumen*.

v_k = 0,88 m³/kg

v₁ = 1,63 m³/kg

*) Ich benutze hierfür ein etwas genaueres p-v-Diagramm.
(...auf Wunsch als Kopie erhältlich!)

Die gesuchten Querschnittsflächen F_min und F₁ sind somit:

F_min = (G_sek • v_k • 1000) : c_k = (0,48 • 0,88 • 1000)  : 439 =  422,4 : 439 = 0,96 mm²   

und     

F₁ = (G_sek • v₁ • 1000) : c₁ = (0,48 • 1,63 • 1000) : 608 = 782 : 608 = 1,29 mm²         
                                                                                                                                                               
Bei einer vorgegebenen Düsenkanalhöhe a = 2 mm sind die entsprechenden Düsenkanalbreiten:
An der engsten Stelle

b_min = F_min : a =  0,96 : 2 = 0,48 ≈ 0,5 mm

und an der weitesten Stelle,

b₁ = F₁ : a = 1,29 : 2 = 0,645 ≈ 0,65 mm.

Die Länge der Erweiterung l_E ist damit:

l_E = (b₁ - b_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (0,65 - 0,5) : 0,175 = 0,15 : 0,175 = 0,857 ≈ 0,86 mm.

Ich habe beim letzten Berechnungsbeispiel bewusst auf eine Kommentierung verzichtet, damit Leser, die sich intensiver mit dem Thema befassen, ein eigenes Urteil über die Ergebnisse bilden.
Eigentlich wollte ich nur rechnerisch die obige Feststellung untermauern, dass schnell die Grenze des Machbaren erreicht wird.
Wenn wir davon ausgehen, dass die Breite des Dampfstrahls mindestens einen Schaufelkanal füllen soll, so bezieht sich diese Aussage nicht nur auf Düsen mit den o.a. Abmessungen, sondern auch auf die entsprechende Beschaufelung des Laufrades.

Beim obigen Beispiel ergibt sich für das Laufrad von 80 mm Durchmesser bei 20.000 ¹/min eine Umfangsgeschwindigkeit von u = 80 m/s.
Damit ist das Verhältnis u/c₁ = 80 : 608 = 0,13.

Betrachten wir die Kurven in Bild 14, so erkennen wir, dass dieses Verhältnis für eine einstufige Modelldampfturbine mit erweiterter Düse einen Wirkungsgrad η ≈ 0,3 erwarten lässt.
Unter den gegebenen Umständen ist der günstigste Wirkungsgrad mit η ≈ 0,42 nur mit zwei Geschwindigkeitsstufen erreichbar.
Bei drei Stufen ist keine weitere Verbesserung des Wirkungsgrades zu erkennen.
Diese Aussagen sind nur überschlägig, wer es genauer wünscht, sollte einen Geschwindigkeitsplan zeichnen.
Für eine überschlägige Berechnung der zu erwartenden Leistungen reicht die Genauigkeit aber aus.
Wir errechnen hierzu die inneren Wärmegefälle mit der Gleichung h_i = h_t • η.

Einstufig: h_i  = 51 • 0,3 = 15,3 kcal/kg.

Zweistufig: hi  = 51 • 0,42 = 21,4 kcal/kg._i

Der spezifische Dampfverbrauch d_e ist demnach:

Einstufig: d_e = 860 : 15,3 ≈ 56 kg/kW.

Zweistufig: d_e = 860 : 21,4 ≈ 40 kg/kW.

Die in etwa zu erwartenden Leistungen sind:

Einstufig: N_i = (G_sek • 3600) : d_e = (0,48 ∙ 3600) : 56 = 1728 : 56 = 30,8  ≈ 30 Watt.

Zweistufig: N_i = (G_sek • 3600) : d_e = (0,48 ∙ 3600) : 40 = 1728 : 40 = 43,2  ≈ 43 Watt.

Nach unseren zwischenzeitlich gewonnenen Erkenntnissen sind aber Leistungen dieser Größenordnung bei zweistufigen Modelldampfturbinen auch mit einfachen Düsen und
p_k - Überschreitung mit deutlich besserem Wirkungsgrad zu erzielen.

Trotzdem zum Abschluss noch ein Hinweis zur Gestaltung von Dampfdüsen.

Durch den Düsenwinkel α₁ entsteht an den Düsenkanälen von Dampfturbinen unabhängig von der Bauform immer ein Schrägabschnitt.
Bild 27 zeigt sowohl den Schrägabschnitt einer einfachen Düse, als auch den einer erweiterten Düse (Laval- Düse).
Im Sinne einer besseren Strahlführung ist es angebracht den jeweiligen Ausgangsquerschnitt nicht unmittelbar an den Zwischenspalt zu legen. Das betrifft bei einfachen Düsen, besonders bei denen mit p_k-Überschreitung, den Querschnitt F_min und bei erweiterten Düsen den Querschnitt F₁.
In beiden Fällen wird der jeweilige Endquerschnitt durch den Schrägabschnitt vervollständigt und die Austrittskanten verlaufen parallel zum Düsenwinkel α₁.
Ist bei einfachen Düsen der kritische Druck p_k gleich oder kleiner als der Endruck p₀ bzw.  entspricht bei erweiterten Düsen der Endquerschnitt F₁ dem Enddruck p₀, tritt der Dampfstrahl in Richtung der Düsenachse aus, ohne durch den Schrägabschnitt in irgendeiner Form beeinflusst zu werden.