Thema: Überlegungen zu einer direkt beheizten Modell-Dampfturbine mit Stumpf-Schaufeln

[Turbo-Georg]

 
Wenn man die Erfahrungen mit unserer Modell-Dampfturbine mit Stumpf-Beschaufelung, sowie die Erkenntnisse aus den Experimenten mit geregelten Durchlaufkesseln zusammenfasst und konsequent weiter „spinnt“, muss man fast zwangsläufig zu einer Kombination beider Komponenten gelangen; also zu einer direkt beheizten Modell-Dampfturbine.
Ich finde den Gedanken faszinierend, unter Verzicht auf jede Art von Dampferzeugern ein entsprechendes Schiffsmodell beinahe vorbildtreu, mit ein oder zwei solchen, auch äußerlich Gasturbinen sehr ähnlichen Aggregaten anzutreiben.
 
Mir schwebt dabei vor, die düsenförmigen Ausgänge mehrerer gasbeheizter Verdampfer mit Wassereinspritzung so anzuordnen, dass sie unmittelbar auf das Schaufelrad einer Dampfturbine wirken. Dabei soll die Leistungsregelung der Turbine über die Wärmezufuhr (Gasmenge), sowie das eingespitzte Speisewasser (Dampfmenge) erfolgen.

Es sind rein praktisch technologische Gründe, die zur Verwendung der Stumpf-Beschaufelung führen. Vermutlich würde der Einsatz klassischer Profil-Schaufeln zu einem etwas günstigerem Wirkungsgrad führen, aber der Aufwand zu deren CNC gestützter Herstellung kann durch den Leistungsgewinn nicht gerechtfertigt werden. Die Fertigung von Stumpf-Schaufeln hingegen, bewegt sich im Rahmen einer gut ausgestatteten Hobby-Werkstatt.

Dem Berechnungsbeispiel einer zweistufigen Turbine aus dem Beitrag „Modelldampfturbinen mit Stumpf-Schaufeln“ lag eine innere Leistung von 37 Watt zu Grunde.

http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,21086.0.html

Der hiernach gebaute Prototyp erbrachte auf dem Bremsdynamometer eine Wellenleistung von 17 Watt hinter dem Getriebe. Wenn wir auch nur 10% Getriebeverluste annehmen, ergibt sich eine effektive Turbinenleistung von ca. 20 W. Das entspricht in etwa einem thermischen Wirkungsgrad von 25 % und bedeutet, dass 25 % der Wärmeenergie von ca. 0,6 Gramm Dampf pro Sekunde, in Form mechanischer Arbeit an der Turbinenwelle verfügbar sind.

https://www.youtube.com/watch?v=k-qy02pxIuo

Wir gehen der besseren Vergleichbarkeit wegen wiederum von einem Schaufelrad-Durchmesser von etwa 80 mm und einer Nenndrehzahl von 20.000 1/min aus. Das entspricht einer Umfangsgeschwindigkeit u ≈ 80 m/s.

Wir wissen um die Zusammenhänge zwischen dem Wirkungsgrad am Radumfang (η_u) und dem Verhältnis u/c ₁.
Hierbei sind u die mittlere Umfangsgeschwindigkeit am Schaufelkranz und c ₁ die Dampfgeschwindigkeit am Düsenausgang.
 
Bei einer einstufigen Turbine (Düsenwinkel 17°) wird bekanntlich der höchste Wirkungsgrad η _u≈ 0,75 erreicht, wenn das Verhältnis u/c₁ = 0,5 ist.
Durch Geschwindigkeitsstufung kann die Dampfgeschwindigkeit c₁ recht wirksam herabgesetzt werden
Bei einer zweistufigen Turbine mit Geschwindigkeitsstufung liegt der Scheitel der Kurve bei einem Verhältnis u/c₁ = 0,25 und der theoretische Wirkungsgrad ist nunmehr η_u = 0,58.
Diese Werte für η_u  gelten zwar für C-Räder mit Profilschaufeln, sind aber für unsere überschlägige Betrachtung recht hilfreich.
Siehe: Zeichnung 1 oder „ Die Dampfturbine im Modellbau“ (Abb.5).
http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html


 
Bei unserer Umfangsgeschwindigkeit u = 80 m/s beträgt die optimale Dampfgeschwindigkeit demnach:
 c₁ = 80 : 0,25  = 320 m/s.

Aus der Dampfgeschwindigkeit c₁ errechnet wir das ihr zu Grunde zu legende theoretische Wärmegefälle h_t des Dampfes.

Die Gleichung für die Dampfgeschwindigkeit
c₁ = 91,5 • φ • √h_t  [m/s]

stellen wir nach h_t um.

Es sind:
c₁ = Dampfgeschwindigkeit am Düsenausgang [m/s],
h_t  = theor. Wärmegefälle [kcal/kg],
φ = Düsen-Verlustbeiwert (φ = 0,93 angenommen.),
Zahlenwert 91,5 = √ ( 2 ∙ g  ∙ 427 kgm/kcal ).

h_t = c₁² : (91,5 • φ)²

h_t = 320² : (91,5 • 0,93)²  = 102400 : 85² =102400 : 7225 = 14,2 kcal/kg.


Bei Auspuffbetrieb (Gegendruck p₀ = 1at_a) mit leicht überhitztem Dampf (t_ü ≈ 110 °C) bzw. Sattdampf entspricht das gemäß dem h-s Diagramm für Wasserdampf einem Betriebsdruck (Zeichnung 2)
p₁ = 1,4 at_a (etwa 0,4 bar).

 

[Turbo-Georg]

Liebe Modellbaufreunde,
das Hochladen dieses neuen Beitrages ist leider völlig schief gelaufen.
Den fehlerhaften Beitrag konnte ich leider nicht wieder löschen. Ich habe versucht, ihn in einer längeren Prozedur etwas zu eddidieren.
Also, ich bitte um Nachsicht.
Die fehlenden Zeichnungen werde ich morgen nachreichen.

[Turbo-Georg]

... und hier die oben fehlenden Zeichnungen

[Turbo-Georg]

Sattdampf mit einem Druck von 1,4 at_a ist auch leicht überhitzt nicht sehr energiereich.
Die gewünschte Turbinen-Leistung muss daher durch eine entsprechend höhere Dampfmenge G erbracht werden. Das heißt, die Dampfmenge G_sek  = 0,6 g/s des o.a. Prototypen wird nicht ausreichend sein. 
In unserem Fall scheinen die Vorteile dieses „energiearmen“ Dampfes dennoch zu überwiegen.
Der recht niedrige Dampfdruck kommt uns bei der angestrebten Art der Verdampfung sehr entgegen. Die direkte Leistungsregelung der Turbine über die Gas- bzw. Speisewassermenge sollte weitgehend frei von Trägheit erfolgen; wir erwarten eine spontane  Umwandlung der  eingespritzten Wassermenge in Dampf mit dem entsprechenden Druck.
Das Speisewasser muss hierzu in einem Heißgas-Wärmetauscher bis nahe der Siedetemperatur vorgewärmt werden.
Die geregelte Speisewasser-Pumpe wird vor dem Wärmetauscher platzieren; die hohe Speisewassertemperatur hat also keinen Einfluss auf deren Funktion; soll heißen, die Speisepumpe saugt kaltes Wasser an.
Des Weiteren liegt der Betriebsdruck von 1,4 at_a ausreichend weit unter dem kritischen Druck p_k (Laval-Druck), es kommen demnach die deutlich leichter herstellbaren, so genannten einfachen Düsen zum Einsatz.

[Turbo-Georg]

Für den ersten Versuch eines Geschwindigkeitsplanes stehen uns folgende Werte zur Verfügung:

Dampfgeschwindigkeit c₁ = 320 m/s,
Umfangsgeschwindigkeit u = 80 m/s,
Düsen-Verlustbeiwert φ = 0,93.

Vom unserem Prototyp mit Stumpf-Schaufeln übernehmen wir:

Düsenwinkel α₁ = 15⁰ (?),
Schaufelwinkel β₁ = 19⁰,
Schaufel-Verlustkoeffizient ψ_S = 0,7,
Leitkammer-Verlustkoeffizient ψ_L = 0,74 (Umlenkwinkel γ = 162⁰).
Aus Herstellungsgründen möchte ich, dass wir den Schaufelwinkel β₁ = 19⁰ vorerst beibehalten.
Gegebenen Falls ändert sich hierdurch der Düsenwinkel α₁ geringfügig.

Die Darstellung von Dampfgeschwindigkeiten und ihren Winkeln zeigt das Bild 2 des Beitrags „Berechnung von Modelldampfturbinen“.

http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,16639.0.html


Wie bereits vermutet, ändert sich der Düsenwinkel nur marginal (14,8°). Die Änderung kann also vernachlässigt werden.
Viel wichtiger ist die Erkenntnis, dass durch die recht hohen Strömungsverluste in den Schaufeln ((ψ_S = 0,7 = 30%) und in der Leitkammer (ψ_L = 0,74 = 26%) die verbleibende Bewegungsenergie zu gering ist, um in einer zweiten Stufe verwertet zu werden. Der Dampf würde lediglich mit c’₁ = 72,5 m/s in die zweite Stufe eintreten.
Eine zweite Geschwindigkeitsstufe würde in diesem Fall nicht nur keinen Leistungsanteil  erbringen, sondern durch ihre Ventilationsverluste sogar bremsend wirken.

Wir erinnern uns, dass wir bei unserem Prototyp anfänglich vor dem gleichen Problem standen und den Betriebsdruck p₁ deutlich über den kritischen Druck erhöhen mussten, um in der zweiten Stufe einen respektablen Leistungsanteil von etwas 25% zu erzielen.
Aus den bereits genannten Gründen möchten wir jedoch bei einem Betriebsdruck
p₁ =1,4 at_a verbleiben.
Wir müssen uns also etwas anderes einfallen lassen.

[Turbo-Georg]

Wenn wir die obigen Kurven des Wirkungsgrades am Radumfang anschauen, können wir feststellen, dass sich die Kurve für Zweistufigkeit an ihrem Scheitelpunkt mit der Kurve für einstufige Turbinen schneidet.
Das bedeutet nichts anderes, als dass am Schnittpunkt der Wirkungsgrad η_u für beide Fälle  gleich ist und dass damit auch die Summe der auftretenden Verluste nahezu gleich ist.
 
Während sich bei einer zweistufigen Turbine diese Verluste weitgehend als so genannte Schaufelungsverluste darstellen würden, sind diese Verluste bei Einstufigkeit im Wesentlichen höhere Austrittverluste, also die ungenutzte Wärmeenergie im Abdampf. 

Für eine einstufige Turbine könnte also das Geschwindigkeitsverhältnis u/c₁ = 0,25 unverändert bleiben und damit bei einer Umfangsgeschwindigkeit u = 80 m/s auch die Dampfgeschwindigkeit c₁ = 320 m/s.

Gemäß Geschwindigkeitsplan 2 würde nunmehr der Dampf mit der Austrittsgeschwindigkeit c₂ = 98 m/s nicht zur Umlenkung in eine Leitkammer geführt, sondern unter einem Austrittswinkel α₂ = 34° die Turbine verlassen.
 
Aus den beiden am Umfang wirksamen Geschwindigkeitskomponenten w_1u = 232 m/s und w_2u = 164 m/s errechnen wir das innere Wärmegefälle h_i mit der Gleichung:

h_i = u • (w_1u + w_2u) : 4189 [kcal/kg]

Zahlenwert 4189 = g • 427 kgm/kcal.

h_i = 80 • (232 + 164) : 4189 = 80 • 396 : 4189 = 7,56 ≈ 7,6 kcal/kg.

Den inneren Wirkungsgrad η_i, setzen wir gleich mit dem Wirkungsgrad am Radumfang η_u und ermitteln:

η_i = h_i : h_t = 7,6 :14 = 0,543 ≈ 0,54

Wir finden damit die überschlägige Aussage der Wirkungsgrad-Kurve für eine einstufige Turbine bestätigt.

[Turbo-Georg]

Aus dem inneren Wärmegefälle h_i errechnen wir den spezifischen Dampfverbrauch d dieser Turbine.

d = 860 : h_i (kcal/kg) = 860 : 7,6 = 113 kg/kW.

Zahlenwert 860 = 860 kcal/kW.


Mit der Gleichung:

G_sek = d • N_i : 3600,

Zahlenwert 3600 = 3600 Sekunden pro Stunde,

ermitteln wir die sekundliche Dampf-Verbrauchsmenge für eine gewählte innere Leistung.

Wir wählen zum besseren Vergleich mit N_i = 37 W den Wert aus der Beispiel-Rechnung des Prototyps.

G_sek  = 113 • 37 : 3600 = 1, 16 ≈ 1,2 g/s.

Wir sehen, dass sich auf Grund des energieärmeren Dampfes die Verbrauchsmenge G_sek gegenüber der, unseres Prototyps gleicher Leistung verdoppelt.

Übrigens: Das bedeutet, dass wir mit einer Speisewasserreserve von 1,5 l ca. 20 Minuten fahren könnten.


Mit Modellbau gerecht umgestellter Bernoully-Gleichung ermitteln wir die Düsen-Querschnittsfläche F_min:

F_min = G_sek • v • 1000 : c.

Es sind:
F_min = Düsen-Querschnittsfläche [mm²],
G_sek  = Dampfmenge [g/s],
v = spez. Dampfvolumen [m³/kg],
c = Dampfgeschwindigkeit [m/s],
Zahlenwert 1000 (Umstellung in Gramm und mm²).

Für c und v setzen wir jeweils die Werte am Düsenausgang ein:
Dampfgeschwindigkeit c₁ = 320 m/s,
Dampfvolumen v  ≈ 1,3 m³/kg.

F_min = 1,2 • 1,3 • 1000 : 320 = 4,875 ≈ 4,9 mm². 

Wir rechnen einfach mal mit F_min =  4,8 mm² und kommen auf 3 Düsen mit f_min = 1,6 mm².

Wenn wir die Schaufel-Düsen-Geometrie unseres Prototyps mit einer Düsen-Querschnittsfläche von 2 mm² übernehmen, kämen wir bei drei Düsen auf
F_min = 6 mm².
Die Dampf-Verbrauchsmenge G_sek würde sich erhöhen, aber auch die Leistung N_i.

[Turbo-Georg]

Wir vervollständigen das h-s-Diagramm um die Expansionskurve (Linie) und ziehen dabei die jeweiligen Verluste von unten vom theor. Wärmegefälle h_t ab.

Wir ermitteln zuerst den Düsenverlust:

 h_d = (1 – φ²) ∙ h_t  = (1 - 0,93²) • 14 = 0,135 • 14 = 1,89 ≈ 2 kcal/kg

und finden Punkt A1.
 
Wir rechnen weiter.

Schaufelverlust:
h_s = (w₁² : 8378) • (1 - ψ²)  = (246² : 8378) • (1 - 0,7²) = 7,22 • 0.51 = 3,68
≈ 3,7 kcal/kg.

Wir finden Punkt A2.

Austrittverlust:                             
h_a = c₂² : 8378 = 78² : 8378 = 6084 : 8378 = 0,726 ≈ 0,7 kcal/kg.

Entsprechend Punkt A3.

Auch grafisch finden wir so den bereits rechnerisch ermittelten Wert des inneren Wärmegefälles,

h_i = h_t - h_d - h_s - h_a = 14 -2 -3,7 - 0,7 = 7,6 kcal/kg.

Am Punkt A3 verlässt der Dampf die Turbine nahezu frei von Kondensat.

[Turbo-Georg]

Wir haben nunmehr die wichtigsten Eckdaten zur Konstruktion des Turbinen-Teils ermittelt.

Als Nächstes versuchen wir, uns an die theoretischen Ausgangsdaten zur Konstruktion des Dampferzeugers heran zu arbeiten.

Wir wollen demnach in einem „Schnell“-Verdampfer pro Sekunde 1 Gramm auf  90 °C vorgewärmtes Wasser bei 1,4 at_a verdampfen, Speisewassertemperatur 20 °C.

Wir ermitteln den Wärmebedarf:

Gesamtwärme i’’ 642 kcal/kg (Wasserdampf-Tafel)

Vorwärmer:
Flüssigkeitswärme i’₁ = 90 - 20 = 70 kcal/kg,

Verdampfer:
Flüssigkeitswärme i’₂ = 19 kcal/kg,
Verdampfungswärme r = 642 - 109 = 533 kcal/kg
Verdampfer Gesamt i’₂ + r = 19 + 533 = 552 kcal/kg.

Zur Ermittlung der erforderlichen Heizfläche werden zuerst die jeweiligen Einflussgrößen, wie die Wärmeleitzahl λ (Lambda) des verwendeten Wandmaterials, die Wandstärke δ (Delta), sowie die Wärmeübergangszahlen (Alpha) vom Rauchgas zur Wand ά1 (äußere Heizfläche) und von der Wand zum Wasser ά2 (innere Heizfläche) zum so genannten Wärmedurchgangs-Koeffizient k zusammengefasst.
Er besagt, welche Wärmemenge pro m² Heizfläche bei einer Temperaturdifferenz
von 1 ⁰C stündlich vom Rauchgas auf das Kesselwasser übergeht.

k =  1 :  [(1 : ά1) + (δ : λ) + (1 : ά2)]  (kcal/m²•h•°C).

Wandstärke δ (m)
                                                                                       
Einige Werte für λ  (kcal/m²•h•°C).
 
Kupfer      = 320,
Messing    = 50 - 100,
Rotguss    = 50 - 60,
Stahl         = 40 - 50.

[Turbo-Georg]

Hier noch ein paar erläuternde Angaben zum obigen schematischen Wärme-Diagramm.

Auf der Ordinate ist die Temperatur in °C aufgetragen, während die Abszisse den jeweiligen Wärmeinhalt i in kcal/kg darstellt.

Wir sehen links die Temperatur des Wassers (t_W) beginnend bei 0 °C.
Die Temperatur des Speisewassers haben wir mit 20 °C angenommen (gestrichelt).

Im Vorwärmer wird die Wasser-Temperatur t_W auf 90 °C erhöht (gestrichelt).
Zur Sicherstellung einer störungsfreien Einspritzung bleiben wir damit deutlich im Flüssigkeitszustand.

Bekanntlich nimmt der Wärmeinhalt von 1 kg Wassers pro 1 °C um 1 kcal zu.
Das eingespritzte Wasser hat demnach eine Flüssigkeitswärme i’ von 90 kcal/kg.
Diesen Teil der Flüssigkeitswärme nennen wir i’₁.

Die Siedetemperatur beträgt bei 1,4 at_a  t_S  = 109 °C (Siedepunkt, 1).
Das entspricht gemäß Wasserdampf-Tafel ca. 109 kcal/kg.
Die im Verdampfer bis zum Siedepunkt noch zu übertragende Flüssigkeitswärme von 19 kcal/kg nennen wir i’₂.

Zum Erreichen des Sättigungspunktes 2 ist die Verdampfungswärme r = 533 kcal/kg zu zuführen. 
Die, im Verdampfer  zu übertragende Wärmemenge beträgt damit:

i’₂ + r = 552 kcal/kg.

[Turbo-Georg]

Nach dem zweiten Hauptsatz der Wärmelehre geht die Wärme von einem Körper mit höherer Temperatur auf einen mit tieferer über.
Soll der Wärmeübergang zwischen zwei Medien (Fluiden) durch eine, sie trennende Wand erfolgen, ist demnach eine ausreichende Temperaturdifferenz  zwischen den Wandoberflächen und den Medien erforderlich.

Die Bestimmung der so genannten Wärmeübergangszahl ά gestaltet sich aber nicht nur im Modellbau recht schwierig, denn ihr Wert hängt von etlichen Faktoren ab und er bewegt sich in weiten Grenzen zwischen 10 und 15.000 kcal/m²•h•°C.

Neben der Art des Fluid, seinem Druck, seiner Temperatur sowie seiner Wärmeleitfähigkeit, sind auch die konstruktive Gestaltung des Wärmetauschers, ggf. der Durchmesser seiner Rohre sowie die herrschenden  Strömungsverhältnisse ausschlaggebend.

Bei flüssigen Medien haften nicht selten Teilchen unmittelbar an der Oberfläche der Wand; ihre Geschwindigkeit ist gleich Null und sie bilden eine Grenzschicht mit hohem Wärmewiderstand. Auch bei Gasen bilden sich Grenzschichten verschiedener Art,
z.B. bei Rauchgas sind es Russablagerungen die den Wärmeübergang behindern können.
 
Langsam strömende Gase haben die niedrigsten Wärmeübergangszahlen, kondensierende Dämpfe hingegen die höchsten.
Der Wärmeübergang vom Fluid zur Wand und umgekehrt ist also ein recht komplizierter Vorgang und es gibt praktisch keine, für alle Verhältnisse gültige  Standartwerte. 
Die verschiedensten Erfahrungswerte aus dem Großbetrieb sind für den Modellbau nur sehr bedingt anwendbar.

Einige Werte für α  (kcal/m²•h•°C).

Gase, freie Konvektion                       = 2,5 - 8,5         (3 - 10 W/m²K),
Gase, erzwungene Konvektion            = 8,5 - 430         (10 - 500 W/m²K), 
Siedendes Wasser an Metallflächen     = 3000 - 5200     (3500 - 6000 W/m²K),
Sattdampf an Metallflächen                = 7700              (9000 W/m²K).

[Turbo-Georg]

Liebe Modellbaufreunde,
ich muss zugeben, dass ich mich etwas schwer damit getan habe, in welcher Form ich die komplexen Zusammenhänge bei der Wärmeübertragung zwischen zwei, durch eine Wand   getrennter Medien „rüberbringen“ soll.
Wenn es sich beim Wärme abgebende Medium um heiße Rauchgase oder gar um Flammen handelt, wird es besonders kompliziert.

Das, in den wenigen Stunden vermittelte Wissen, in denen selbst in den Physik-Leistungskursen der gymnasialen Oberstufen die Thermodynamik „gestreift“ wird, reicht nur unvollständig zum Verständnis der vorherrschenden physikalischen Zusammenhänge; die Wärmeübertragung kommt günstigsten Falls als Übungsaufgabe zum Wärmedurchgang von Gebäudewänden vor.
Die verfügbare Fachliteratur dient aber in erster Linie der Heranbildung des technisch akademischen Nachwuchses und schießt in der Themenbehandlung für unsere Verhältnisse weit über das Ziel hinaus.
Auch die Autoren der neueren Fachliteratur bestätigen, dass die Strömungs- und Wärmeleitvorgänge durch Differentialgleichungen zwar mathematisch beschrieben werden können, aber bisher nur einfache Vorgänge rechnerisch lösbar sind.
Durch die Vielzahl der Einflussgrößen ist daher letztendlich ihre experimentelle Ermittlung sehr wichtig.
Ich werde mich deshalb auf die Darstellung und Beschreibung der wichtigsten Größen beschränken und mit einer vereinfachten Beispiel-Rechnung den ambitionierten Modellbauern einen groben Rahmen für eigene Experimente bieten.

[Turbo-Georg]

Der Physiker Fourier hat erkannt, dass die durch eine ebene Wand strömende Wärme, der Wandfläche F, der Temperaturdifferenz t₁ - t₂, sowie der Zeit τ direkt proportional ist, während sie sich zur Wandstärke δ umgekehrt proportional verhält.
Die Wärmeleitfähigkeit des durchströmten Stoffes wird durch den Wert λ dargestellt.
Der Wärmestrom Q ist dabei an jeder Stelle des durchströmten Systems gleich.

Wir wissen aber bereits, dass in unserem Fall die Wärmeübertragung vom Medium 1 (Verbrennungsgas) zum Medium 2 (Dampf) aus drei einzelnen Vorgängen besteht.

Die Zeichnung unten, zeigt den Temperaturverlauf bei der Wärmeübertragung zwischen zwei, durch eine Wand getrennter Medien; die Punkte ihrer Temperaturen t₁ und t₂, sowie die Temperaturen t₁’ und t₂’ der Wandoberflächen, liegen auf einer gedachten Linie.
Somit bietet sich auch die Möglichkeit einer grafischen Lösung über den Tangens des Winkels β.

Wir gehen von folgenden Annahmen aus:

Wärmeübergang vom Verbrennungsgas zur Wand.
Wärmeübergangszahl α₁ = 200 kcal/m²•h•°C.
(Erzwungene Konvektion durch ein Gebläse, teilweise direkter Flammen-Kontakt der Wand.)

Wärmedurchgang durch die Wand.
Wandmaterial Kupfer:   λ = 320 kcal/m•h•°C.
Wandstärke:              δ = 1 mm = 0,001 m.

Wärmeübergang von der Wand zum Dampf.
Wärmeübergangszahl α₂ = 4300 kcal/m²•h•°C.
(Siedendes Wasser und Sattdampf an Metallwand.)

Wir fassen diese drei Vorgänge nach der bekannten Gleichung zum Wärmedurchgangs-Koeffizient k zusammen.
Hiernach ist:

k = 1 :  [(1 : 200) + (0,001 : 320) + (1 : 4300)]  = 200 kcal/m²•h•°C.

Bei der Berechnung der erforderlichen Heizfläche setzen wir folgende Werte an:

Mittlere Verbrennungsgastemperatur   t₁ = 300 °C,
Dampftemperatur                             t₂ = 110 °C.

Stündliche Dampfmenge: 1,2 g/s • 3600 = 4320 g/h = 4,32 kg/h.

Wärmestrom: Q = 4,3 kg/h • 552 kcal/kg = 2374 kcal/h.

Die erforderliche Gesamt-Heizfläche ist demnach:

F_ges = Q : [(t₁ - t₂) • k] = Q : (∆t • k) = 2374 : (190 • 200) = 2374 : 38000  = 0,062 m² = 62 cm².

Die einzelnen Heizflächen der drei Verdampfer sind:

F _Vd ≈ 20 cm².

Warum ich schon traditionell für physikalische Einheiten die alten Bezeichnungen verwende, habe ich in meinen verschiedenen Beiträgen bereits begründet.
Den „etwas jüngeren“ Modellbauern, die mit SI-Einheiten groß geworden sind, dürfte die Umrechnung aber keine Schwierigkeiten bereiten.

Da 1 kW = 1000 W = 860 kcal  sind und 1 °C = 1 K entsprechen, gilt u.a. für die Umrechnung:

kcal/m²h°C • 1,1630 = W/m²K, 

W/m²K • 0,8598 = kcal/m²h°C. 
 

[Turbo-Georg]

Bei der überschlägigen Berechnung der Heizfläche des Vorwärmers, wählen wir wiederum den vereinfachten Weg über den erforderlichen Wärmestrom Q.

Die Wärmeübertragung im Speisewasservorwärmer unterscheidet sich jedoch von der, unseres Verdampfers.
Während beim Verdampfungsprozess die Temperatur t_S des Wassers als Wärme aufnehmendes Medium 2 vom Siedepunkt (1) bis zum Sättigungspunkt (2) konstant ist und lediglich der Wärmeinhalt i steigt (... siehe obiges Wärmediagramm), ist die, bei unserer Berechnung einzusetzende Temperaturdifferenz t₁ - t₂ der Medien an jeder Stelle des Vorwärmers anders.

Betrachten wir bei unserem Vorwärmer das zu erwärmende Speisewasser als Wärme aufnehmendes Medium 2, so reicht seine Temperatur t_W von 20 °C am Anfang, bis zu seiner Endtemperatur von 90 °C. 

Bei den kommerziellen Anlagen des Großbetriebes wird hierzu aus der sinkenden Temperatur von Medium 1 und der steigenden von Medium 2 durch Ableitung die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz gebildet.
Bei unserer Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Temperatur von Medium 1 (Verbrennungsgas) konstant ist, bzw. sich vernachlässigbar gering ändert und als Temperatur von Medium 2 (Speisewasser) der arithmetische Mittelwert aus der Anfangs- und der Endtemperatur gebildet wird.

[Turbo-Georg]

Wir legen bei unserem Rohrbündel-Vorwärmer folgende Gegebenheiten zu Grunde:

Wärmeübergang vom Verbrennungsgas zur Rohrwand.
Wärmeübergangszahl α₁ = 100 kcal/m²•h•°C.
(Erzwungene Konvektion, Gegenstrom-Vorwärmer aus quer angeströmten Rohren.)

Wärmedurchgang durch die Rohrwand.
Wandmaterial Kupfer:   λ = 320 kcal/m²•h•°C.
Wandstärke:              δ = 0,5 mm = 0,0005 m.

Wärmeübergang von der Rohrwand zum Dampf.
Wärmeübergangszahl α₂ = 2500 kcal/m²•h•°C.
(Wasser an Rohrwand, erzwungene Strömung.)

Wir ermitteln zuerst wieder den Wärmeübergangskoeffizienten k des Vorwärmers.

k = 1 :  [(1 : 100) + (0,0005 : 320) + (1 : 2500)]  = 100 kcal/m²•h•°C.

Wir verfahren weiter wie beim obigen Verdampfer und bestimmen:
 
Mittlere Verbrennungsgastemperatur   t₁ = 170 °C,
Mittlere Wassertemperatur                t₂ =   55 °C,
(t₂ = 20°C + [(t_{W max} - t_{W min}) : 2] = 20 + [(90 - 20) : 2] = 55°C).

Stündliche Wassermenge: 1,2 g/s • 3600 = 4320 g/h = 4,32 kg/h,
(Wassermenge = Dampfmenge)


Wärmestrom: Q = 4,3 kg/h • (i’ - i₁’) = 4,3 • (90 -20 kcal/kg) = 4,3 • 70 =
301 kcal/h,
(i’= Flüßigkeitswärme des Speisewassers).

Die erforderliche Gesamt-Heizfläche ist demnach:

F_ges = Q : [(t₁ - t₂) • k] = 301 : [(170 - 55) • 100] = 301 : 11500 = 0,026 m² =
26 cm².

Das entspricht beispielweise einem Kupferrohr von 3 mm Außendurchmesser und
280 mm Länge.