Berechnung von Modelldampfturbinen

[Turbo-Georg]

Für die Konstruktion der Leitkammer benötigen wir deren Durchtrittsquerschnitte.
Bei den Berechnungen der Querschnitts-Flächen legen wir das etwas höheres spezifisches Volumen v = 1,72 m³/kg am Punkt A₂ zu Grunde.
Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 210 = 825,6 : 210 = 3,93 ≈ 4 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA  = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 155 = 825,6 : 155 = 5,32  ≈ 5,4 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

F_A = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,48 • 1,72 • 1000) : 36 = 825,6 : 36 = 22,9 ≈ 24 mm².

Bei einer unveränderten Kanalhöhe a = 2 mm (Bild 19) ergeben sich folgende Kanalbreiten:

b_LE  = 4 : 2 = 2 mm,

b_LA = 5,4 : 2 = 2,7 mm,

b_A = 24 : 2 = 12 mm.

Bild 20 zeigt den bemaßten Schaufelschnitt der zweistufigen Modell-Dampfturbine mit Düse und Leitkammer.
Wie eine Leitkammer konstruiert wird, behandeln wir im nächsten Beitrag.

[Turbo-Georg]

Konstruktion der Leitkammer
Wir zeichnen die Leitkammer ebenfalls mit einer Konstruktionshilfe (Bild 21).
Die Darstellung der Schaufeln verdeutlicht den Dampfweg; in der Praxis können wir darauf verzichten.
Wir zeichnen von der hinteren Düsenkante die Hilfslinie a und finden den Eintrittspunkt p⁰. Durch den Punkt p⁰ ziehen wir die Linie b im rechten Winkel zum Eintrittswinkel α₂.
Mit dem Zirkel schlagen wir einen kurzen Bogen vom Punkt p⁰ zur Linie b mit dem Radius

                                                              r₂ = b_LE + r₁

und finden den Mittelpunkt m der Kammer-Krümmung. Um die Reibungswege kurz zu halten wählen wir einen möglichst kleinen Radius r₁ (ca.1 bis 1,5 mm).
Durch den Mittelpunkt m zeichnen wir senkrecht zum Leitkammer-Austrittswinkel α'₁ die Linie c.
Vom Mittelpunkt m schlagen wir Kreisbögen von der Linie b zur Linie c mit den Radien r₁ und r₂.
Wir schlagen weiterhin den Bogen der Kammer-Mittellinie von Linie b nach Linie c und verlängern die Mittellinie jeweils unter den Winkel α₂ und α'₁ bis zum Querspalt.
Parallel zur Mittellinie zeichnen wir im Abstand der halben Austrittsbreite b_LA  die beiden Hilfslinien d¹ und d² und finden den Punkt p¹. Vom Punkt p¹ ziehen wir senkrecht zur Mittellinie (Winkel α'₁) die Linie e und finden am Schnittpunkt mit der Linie d² den Punkt p².
Wir verbinden die Punkte p¹ und p² mit den Bögen der Krümmung an der Linie c und verlängern vom Punkt p² die Linie der Kammerwand parallel zur Mittellinie bis zum Querspalt.

Zum verlustfreien Dampfübertritt in die Kammer bei Teilanschnitt der Schaufeln, wird die hintere Eintrittskante der Leitkammer etwas in Laufrichtung verschoben. Hierzu verkleinern wir den Winkel der Kammerwand (gestrichelte Linie) um etwa 10⁰. Wir zeichnen also die Linie der Kammerwand von Bogen r₁ an der Linie b unter dem Winkel α₂ - 10⁰ zum Querspalt.
Vom Punkt p¹ zeichnen wir senkrecht zur Laufrichtung die Linie f und erhalten an der Gegenseite die hintere Kante des Dampfaustritts mit der Breite b_A. 
Zur Vermeidung von Kantenstößen muss sowohl bei der Leitkammer als auch beim Dampfaustritt die jeweilige Eintrittseite durch Abschrägen erweitert werden (siehe Bild 19).

[Baunummer 509]

Wunderbare Herangehensweise und extrem Informativ. 
Ich verstehe zwar nicht alles, aber doch immerhin etwas 

[Turbo-Georg]

Mehrstufige Modell-Dampfturbinen mit Druckstufung
Mit einer kleinen zeitlichen Verzögerung setzen wir unsere Betrachtungen fort.
Wir wissen aus den verschiedenen Beiträgen, dass bei Dampfturbinen neben der Geschwindigkeitsstufung auch die Druckstufung eine Möglichkeit bietet, das für einen hohen Wirkungsgrad verantwortliche Geschwindigkeitsverhältnis u/c₁ durch Herabsetzung der Dampfgeschwindigkeit c₁ zu optimieren.

http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html    #2 vom 20.08.2010
http://forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html    #6 vom 18.10.2010

Wir wissen aber auch, dass für die gleiche Minderung der Dampfgeschwindigkeit c₁  mehr Druckstufen als Geschwindigkeitsstufen benötigt werden. Wegen des damit verbundenen hohen Bauaufwandes ist die Anwendung von reiner Druckstufung für den Modellbau ungeeignet.
Während des Stufenweisen Abbaues eines hohen Dampfdruckes oder besser eines hohen Wärmegefälles, nimmt das spezifische Volumen des Dampfes ständig zu. Dem muss durch kontinuierliche Vergrößerung der Durchtrittsquerschnitte Rechnung getragen werden.
Nicht nur die unterschiedlichen Beschaufelungen und Abmessungen der Laufräder in den einzelnen Druckstufen dürften kaum lösbare Probleme bereiten, sondern auch die Konstruktion und Herstellung der Druckkammern, deren druckdichte Zwischenböden mit integrierten Düsen, sowie den Stopfbuchsen zur druckdichten Durchführung der Turbinenwelle stellen für den Modellbau einen nicht zu rechtfertigten Aufwand dar.

Kombinieren wir jedoch die Bauformen und beschränken uns dabei auf zwei Druckstufen mit jeweils zwei Geschwindigkeitsstufen mit wiederholter Beaufschlagung, können wir den günstigeren Wirkungsgrad von Druckstufen mit der hohen Absenkung der Dampfgeschwindigkeit c₁ in Geschwindigkeitsstufen verbinden.
(siehe Bild, ,,Vierstufige Modell-Dampfturbine" in #3 des ersten Links).
Durch die Aufteilung eines höheren Wärmegefälles auf zwei Druckstufen, werden die Dampfgeschwindigkeiten in verarbeitbaren Grenzen gehalten, ohne auf den Vorteil einer größeren Wärmemenge verzichten zu müssen. Die im Dampf verbleibende Verlustwärme der ersten Druckstufe wird in der zweiten Druckstufe verarbeitet; erst hier geht Wärme über den Abdampf verloren (Bild 3 unten).

[Turbo-Georg]

Dampfturbinen mit Druckstufung durch Zwischenböden stellen bekanntlich nichts anderes dar, als hintereinander geschaltete Einzelturbinen. Das wird in der Antwort #2 des ersten Links und rechts in dem zugehörigen Bild ,,Gleichdruck-Turbinen" verdeutlicht.
Wir könnten demnach zwei zweistufige Modell-Dampfturbinen, wie oben ab #21 beschrieben bauen, sie Dampfseitig hintereinander schalten und ihre Wellen in geeigneter Weise verbinden.
Das hintereinander Schalten bedeutet, dass der Ausgang der ersten Turbine (HD) mit dem Eingang der zweiten Turbine (ND) verbunden wird. Das verfügbare Wärmegefälle des Dampfes wird auf beide Turbinen verteilt.
Wenn also unsere Beispiel-Turbine für ein theoretisches Wärmegefälle h_t = 22 kcal/kg ausgelegt ist, wird für zwei ,,baugleiche", hintereinander geschaltete Turbinen ein Gesamt-Wärmegefälle H_t = 44 kcal/kg benötigt. Der Betriebsdampf hätte somit einen höheren Wärmeinhalt. Die unveränderte Verbrauchsmenge G_sek = 0,48 g/s des nunmehr Energiereicheren Dampfes durchströmt nacheinander beide Turbinen, jede erbringt eine Leistung von 25 W, also insgesamt 50 W.

,,Baugleich" bedeutet: Baugleich mit Einschränkung.
Wir wissen, dass der Dampf auf seinem Weg durch beide Turbinen sein spezifisches Volumen ändert; zumindest die Durchström-Querschnitte der beiden Turbinen wären also nicht ,,baugleich".
Neben der o.a. Möglichkeit die beiden Druckstufen in getrennten Gehäusen unterzubringen und ihre Turbinenwellen zu koppeln, bietet sich die zweifellos elegantere Lösung eines gemeinsamen Gehäuses unter Verwendung eines druckdichten Zwischenbodens. Wie im Bild ,,Vierstufige Modell-Dampfturbine" in #3 des ersten Links dargestellt.
Der gleichzeitige Wechsel vom traditionellen Längsstrom- zum Querstrom-Prinzip erbringt trotz Mehrstufigkeit eine relativ kurze Baulänge, ein günstigeres Leistungsgewicht, auch eine vereinfachte Herstellung der Düsen und Leitkammern und der Laufräder-Beschaufelung.

[Turbo-Georg]

Bei unserer weiteren Betrachtung gehen wir wiederum zum besseren Vergleich von unserem Berechnungsbeispiel einer zweistufigen Turbine aus.
Wir setzen jeweils eine der Beispiel-Turbinen als Hoch-Druckstufe (HD) und eine als Nieder-Druckstufe (ND) ein. Als Stufengefälle der Druckstufen, wir nennen sie h_t1 und h_t2, übernehmen wir das Gefälle h_t = 22 kcal/kg unserer zweistufigen Turbine. Damit entsprechen auch die Dampfgeschwindigkeiten in den Druckstufen dem Geschwindigkeitsplan der zweistufigen Turbine (Bild 16).
Die einzelnen Verluste in den Druckstufen sind ebenfalls weitgehend mit denen der zweistufigen Modell-Dampfturbine identisch.
Wir können also einfacher Weise die Expansionslinie aus dem h-s-Diagramm (Bild 17) in das h-s-Diagramm unserer Modell-Dampfturbine mit zwei Druckstufen (Bild 22) übertragen.
Die Position der Expansionslinie unserer ND-Stufe ist dabei mit der, unserer zweistufigen Turbine identisch. Die Expansionslinie der HD-Stufe positionieren wir so, dass sich ihr Punkt A₄ mit dem Punkt p₁' = 1,7 at_a (Stufendruck) der ND-Stufe deckt.
Korrekter Weise müsste der Punkt A₄ der Expansionslinie der HD-Stufe auf gleicher Höhe etwas weiter links angesetzt werden, um auch die Druck- bzw. Temperaturverluste in der Überströmleitung zur ND-Stufe auszugleichen (etwa 0,1 bis 0,15 at_a). Diese Verluste können aber ggf. auch über ein kleines Frischdampfventil am Überströmrohr ausgeglichen werden; es dient dann gleichzeitig der Vorwärmung der ND-Stufe nach längeren Betriebspausen. Zur Kontrolle des Stufendruckes (p₁' = 1,7 at_a) ist dann ein kleines Kontroll-Manometer vorzusehen.

Wir können nun dem h-s-Diagramm (Bild 22) folgende Werte entnehmen:

theor. Gesamt-Wärmegefälle H_t = 44 kcal/kg,
theor. Stufengefälle h_t = 22 kcal/kg,
Turbinen-Betriebsdruck p₁ = 2,8 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C),
Stufendruck p₁' = 1,7 at_a, (überhitzt, t_ü = 125⁰ C),
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).

[Turbo-Georg]

Das spezifische Dampfvolumen am Düsenausgang (A₁) unserer HD-Stufe ist mit  v = 1,15 m³/kg  geringer als bei unserer zweistufigen Turbine. Unter Beibehaltung der Dampf-Verbrauchsmenge G_sek = 0,48 g/s wäre die Düsen-Querschnittsfläche der HD-Stufe

F_min1 = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,48 • 1,15 •1000) : 400 = 552 : 400 = 1,38 ≈ 1,4 mm².

Sie liegt damit an der Grenze der Herstellbarkeit. Wir bestimmen die Düsen-Querschnittsfläche der HD-Stufe F_min1 = 2 mm² und errechnen mit der umgestellten Gleichung die sich ergebende Dampf-Verbrauchsmenge.

G_sek = (F_min • c₁) : (v • 1000) = (2 • 400) : (1,15 • 1000) = 800 : 1150 = 0,695 ≈ 0,7 g/s
                                                                       
Die höhere Dampfmenge G_sek erfordert auch eine Korrektur der Querschnittsfläche der Düse der ND-Stufe;

F_min2 = (G_sek ∙ v ∙ 1000) : c₁ = (0,7 ∙ 1,72 ∙ 1000) : 380 = 1204 : 400 = 3,01 ≈ 3,0 mm².

Bei unserer Kanalhöhe a = 2 mm ergeben sich folgende Düsenkanalbreiten:

HD-Düsenkanalbreite b₁ = 2,0 : 2 = 1,0 mm,
ND-Düsenkanalbreite b₂ = 3,0 : 2 = 1,5 mm.

Im Realisierungsfall müssten wegen der erhöhten Dampfmenge G_sek, sowie des niedrigeren Dampfvolumens v in der HD-Stufe, auch die Strömungs-Querschnitte der Leitkammern und  Dampf-Austrittsöffnungen beider Druck-Stufen nachgerechnet werden. Die Beschaufelung der beiden Laufräder bleibt unverändert.

In den Druckstufen ist das jeweilige innere Stufen-Gefälle h_i = 12,5 kcal/kg und das

innere Gesamt-Gefälle H_i  = 25 kcal/kg.

Der Gesamt-Wirkungsgrad η_i = H_i : H_t = 25 : 44  = 0,57.

Der spezifische Dampfverbrauch       

d_e = 860 : 25 = 34,4 kg/kWh.

Wir errechnen nach Umstellung der Gleichung eine

Leistung N_i = (0,7 ∙ 3600) : 34,4 = 2520 : 34,4 = 73,25 ≈ 73 Watt.

Wir sehen, dass sich durch diese Stufen-Anordnung der spezifische Dampfverbrauch d_e gegenüber unserer zweistufigen Turbine halbiert und sich die Leistung ohne die konstruktiv bedingte Erhöhung der Dampfmenge G_sek verdoppeln würde.
Der Gesamt-Wirkungsgrad η_i = 0,57 entspricht dem Wirkungsgrad unserer zweistufigen Turbine.
Worin besteht demnach die höhere Wirtschaftlichkeit der Druckstufung?
Bei der Beurteilung der Wirtschaftlichkeit müssen wir die Dampferzeugung in die Betrachtung einbeziehen.
Ich habe zum besseren Verständnis den Ausschnitt aus dem h-s-Diagramm in Bild 22 links mit den Werten des Dampf-Wärmeinhaltes i (Enthalpie des Dampfes) versehen.
Wir erkennen, dass der Wärmeinhalt i des Betriebsdampfes unserer zweistufigen Turbine, in Bild 22 mit p₁' identisch, 650 kcal/kg beträgt. Der Wärmeinhalt i des Betriebsdampfes unserer Turbine mit Druckstufung im gleichen Bild mit p₁ bezeichnet, beträgt 662 kcal/kg.

Das bedeutet: Der Verdoppelung des Wärmegefälles von 22 kcal/kg auf 44 kcal/kg, und somit auch einer Verdoppelung der Leistung, steht lediglich eine Erhöhung an Erzeugungswärme von 12 kcal/kg gegenüber.
Fazit: Bei unserer Modell-Dampfturbinenanlage würde durch die Verwertung der Verlustwärme der HD-Stufe in der ND-Stufe, der spezifische Gasverbrauch pro Watt sinken. 

Wir fassen das Ergebnis unserer Betrachtung zu folgenden Merkmalen zusammen:

-   vierstufige Gleichdruck-Turbine mit einfachen Düsen
-   zwei Druckstufen mit je zwei Geschwindigkeitsstufung durch wiederholtes Beaufschlagen
-   Kesseldruck p = 3 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C), 
-   Turbinen-Betriebsdruck p₁ = 2,8 at_a, (überhitzt, t_ü = 155⁰ C), 
-   Stufendruck   p₁' = 1,7 at_a, (überhitzt, t_ü = 125⁰ C),
-   Gegendruck   p₀ = 1 at_a, (Auspuffbetrieb),
-   Drehzahl n = 20.000 1/min,
-   Leistung N_i = 73 Watt
-   Wirkungsgrad η_i = 0,57
-   Dampf-Verbrauchsmenge G_sek = 0,7 g/s

Diese ,,vierstufige" Modell-Dampfturbine stellt trotz etwas höherem Bauaufwands einen sehr wirtschaftlichen und leistungsfähigen Antrieb für größere Modelle dar.

[Turbo-Georg]

Zum Abschluss dieses Beitrages berechnen wir noch zur Übung die Durchtrittsquerschnitte der Leitkammern und Dampfaustritte beider Druckstufen. Das spezifische Volumen am Punkt A₂ der HD-Stufe setzen wir mit v = 1,17 m³/kg wiederum etwas höher an, als an deren Düsenausgang (Punkt A₁). Die Dampfgeschwindigkeiten entnehmen wir dem Geschwindigkeitsplan unserer zweistufigen Modell-Dampfturbine (Bild 16).

HD-Stufe

Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE1 = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 210 = 819 : 210 = 3,9 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA1  = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 155 = 819 : 155 = 5,28  ≈ 5,3 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

_FA1 = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,7 • 1,17 • 1000) : 36 = 819 : 36 = 22,75 ≈ 23 mm².


ND-Stufe

Wir berechnen den Eintritts-Querschnitt der Leitkammer mit:

F_LE2 = (G_sek • v • 1000) : c₂ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 210 = 1204 : 210 = 5,7 mm²,

den Austrittsquerschnitt:

F_LA2 = (G_sek • v • 1000) : c'₁ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 155 = 1204 : 155 = 7,76  ≈ 7,8 mm²

und die Querschnittsfläche des Dampfaustritts:

F_A2 = (G_sek • v • 1000) : c'₂ = (0,7 • 1,72 • 1000) : 36 = 1204 : 36 = 33,44 ≈ 34 mm².


Ich danke Euch für das gezeigte Interesse.

Euer Turbo-Georg

Der Beitrag steht ohne Feedback als PDF-Datei  zur Verfügung
(40 Seiten DIN A4, 18,6 MB).
Bei Interesse kurze PN mit Email-Adresse.

[Turbo-Georg]

Liebe Freunde der Modelldampfturbine,
es zeigt sich im Nachhinein doch als angebracht, auch die Düsen für überkritische Dampfgeschwindigkeiten, also Wärmegefälle über 22 bis 24 kcal/kg, sowie deren Berechnung zu behandeln.
Wann kommen im Dampfmodellbau  solche Düsen zum Einsatz?

Nun, es handelt sich um Grenzfälle, in denen nach Abwägung von Aufwand und Nutzen eine begrenzte Leistungserhöhung durch ein Wärmegefälle sinnvoll erscheint, bei dem in den Düsen die kritische Dampfgeschwindigkeit c_k überschritten wird.

Bekanntlich arbeiten Modelldampfturbinen mehrheitlich im Auspuff-Betrieb, das heißt, der Dampfdruck am Ausgang der Turbine, auch Gegendruck p₀ genannt, entspricht dem atmosphärischen Umgebungsdruck (1at_a).
Erhöhen wir das theoretische Wärmegefälle h_t, so bedeutetet das in der Regel eine Erhöhung des Dampfdrucks p₁ bzw. eine Erhöhung der Überhitzungstemperatur t_ü.
In beiden Fällen heißt das aber auch, dass die Dichte des Dampfes steigt, also sein spezifisches Volumen v abnimmt.
Darüber hinaus bewirkt ein größeres Wärmegefälle h_t eine höhere theoretische Dampfgeschwindigkeit c₀.

Ein geringeres spezifisches Volumen v und eine höhere Dampfgeschwindigkeit c₀ erfordern jedoch bei gleicher Dampfmenge G nach der Bernuolli-Gleichung einen kleineren Düsenquerschnitt F_min.
Wir kommen damit in kleinen bis mittleren Leistungsbereichen sehr schnell an die praktisch sinnvolle Grenze der Düsenabmessungen bzw. deren Herstellbarkeit.

Uns ist aber auch bekannt, dass wegen des so genannten Laval-Drucks, auch als kritischer Druck p_k bezeichnet, das zu verarbeitende Wärmegefälle und somit die Dampfgeschwindigkeit in einer einfachen Düse nicht beliebig gesteigert werden kann.
Die maximal erreichbare Dampfgeschwindigkeit am Düsenquerschnitt F_min ist die Schallgeschwindigkeit des Dampfes, kritische Geschwindigkeit c_k genannt.

Bei Sattdampf entspricht:
Kritischer Druck p_k = p₁ • 0,58,
kritische Geschwindigkeit c_k ≈ 450 m/s,
also einem
theoretischen Wärmegefälle h_t ≈ 24 kcal/kg.
Wir stellen hierzu die bekannte Gleichung um:
 
h_t = (c_k : 91,5)² = (450 : 91,5)²  ≈ 4,9² ≈ 24 kcal/kg.

http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,12568.0.html   Seite 1
http://www.forum-marinearchiv.de/smf/index.php/topic,13029.0.html  Antwort # 5

Hiernach können größere Wärmegefälle nur in so genannten Laval- oder erweiterten Düsen verarbeitet werden.

Untersuchungen zeigten, dass der Schrägabschnitt einer einfachen Düse unter Umständen die Wirkung einer Düsenerweiterung haben kann. Das heißt, im Schrägabschnitt einfacher Düsen findet bei Überschreitung des kritischen Drucks p_k und der kritischen Geschwindigkeit c_k eine weitere Expansion statt.
Einfache Düsen können demnach bis zu einem gewissen Maß im überkritischen Druck- und Geschwindigkeitsbereich betrieben werden.
Damit bietet sich bei leicht überkritischen Wärmegefällen eine interessante Alternative zur erweiterten Düse.

Bei Modell-Turbinen sollte die Überschreitung des kritischen Drucks p_k nicht mehr als 25% betragen. In besonderen Fällen könnte man aber auf diese Weise in einfachen Düsen noch Wärmegefälle von bis zu h_t = 40 kcal/kg verarbeiten.

Lassen wir also im Schrägabschnitt unserer einfachen Düse den Dampf weiter expandieren, könnten wir den kritischen Druck p_k um max. 25% überschreiten.
Hierdurch würde sich der maximale Dampfdruck auf p₁ = 2,15 at_a  erhöhen.
Als Gleichung:

p₁ = (p₀ • 1,25) : 0,58  = 1,25 : 0,58 = 2,15 at_a

Das theoretisch verfügbare Wärmegefälle h_t wäre damit 31 kcal/kg und die Dampfgeschwindigkeit c₀ = 509 m/s (Bild 23).

Wegen dieser für Modellturbinen schon recht hohen Dampfgeschwindigkeiten könnten wir uns eigentlich die Behandlung erweiterter Düsen zur Verarbeitung noch größerer Wärmegefälle ersparen, wir werden aber dennoch darauf zurückkommen.

[Turbo-Georg]

Bei der weiteren Expansion im Schrägabschnitt einer einfachen Düse wird der Dampfstrahl abgelenkt. Hierdurch vergrößert sich der Düsenwinkel α₁ auf α₁' (Bild 24)

Beim Zeichnen eines entsprechenden Geschwindigkeitsplanes ist dann der vergrößerte Düsenwinkel α₁' zu berücksichtigen.
Den vergrößerten Düsenwinkel α₁' ermitteln wir mit der Gleichung:

sin α₁' = [(v₁ ∙ c_k) : (v_k ∙ c₁)] ∙ sin α₁. 
                                             
v₁ (m³/ kg) = spez. Volumen am Düsenaustritt (Punkt A₁),
v_k (m³/kg) = spez. Volumen bei kritischem Druck p_k,
c₁ (m/s) = Dampf-Geschwindigkeit am Düsenaustritt,
c_k (m/s) = kritische Dampf-Geschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit c₁ errechnen wir aus dem theor. Wärmegefälle h_t sowie dem Düsenkoeffizienten φ und die Geschwindigkeit c_k aus dem kritisch. Wärmegefälle h_k.
Die Volumen v₁ und v_k entnehmen wir dem h–s – Diagramm an den entsprechenden Punkten (siehe Bild 23).
Steht kein Taschenrechner mit Winkel-Funktionen zur Verfügung entnehmen wir die Werte von sin α  einem Tabellenbuch.
http://www.europa-lehrmittel.de/leseprobe/331/1060X-44.pdf  Seite 11

Berechnungs-Beispiel:
Wir suchen den vergrößerten Winkel α₁' einer einfachen Düse mit einem Düsenwinkel α₁ = 16⁰ bei
p_k – Überschreitung um 25%.
Bei Auspuffbetrieb (p₀ = 1 at_a) ist damit der kritische Druck p_k  = 1,25 at_a und der
Betriebsdruck p₁ = 2,15 at_a.

Wir entnehmen dem h-s – Diagramm (Bild 23) folgende Werte:
Verfügbares Wärmegefälle h_t = 31 kcal/kg und kritisches Gefälle h_k = 22 kcal/kg,
Volumen bei Endruck v₁ = 1,7 m³/kg und Volumen bei kritischem Druck v_k = 1,4 m³/kg.
Wir errechnen die
kritische Geschwindigkeit* c_k = 91,5 ∙ √22 = 91,5 ∙ 4,41 = 429 m/s
und die
Geschwindigkeit c₁ = (91,5 ∙ √ 31) ∙ 0,93 = (91,5 ∙ 5,57) ∙ 0,93 = 509 ∙ 0,93 = 474 m/s.

Somit ist:

sin α₁' = [(1,7 ∙ 429) :  (1,4 ∙ 474)]  ∙ sin 16⁰  = (729,3 : 663,6) ∙ 0,275 = 1,1 ∙ 0,275 = 0,3025
               
sin ^-1 0,3025 = 17,60⁰    α₁' ≈ 17,6⁰.

*) Bei der Berechnung der kritischen Geschwindigkeit c_k gehen wir der Einfachheit halber von der Annahme aus, dass bei Überschreitungen > 25 % die Schallgeschwindigkeit des Dampfes erst im Schrägabschnitt erreicht wird. 

Wenn wir vermeiden wollen, dass der Düsenwinkel α₁' zu groß wird oder wenn wir von bereits feststehenden Schaufelwinkeln ausgehen müssen, können wir durch Umstellung der Gleichung zu einem bestimmten, vergrößerten Winkel α₁' den jeweils zugehörigen Düsenwinkel α₁ ermitteln.

sin α₁ = sin α₁' ∙  [(v_k  ∙ c₁) :  (v₁  ∙ c_k)].                                               
                           

Im folgenden Beitrag werden wir erweiterte Düsen (Laval-Düsen) behandeln.

[Turbo-Georg]

Erweiterte Düsen (Laval-Düsen)
Sollen bei Modelldampfturbinen Wärmegefälle verarbeitet werden, bei denen der kritische Druck p_k und die kritische Dampf-Geschwindigkeit c_k um mehr als 25 % überschritten werden, kommen nur erweiterte Düsen in Frage.
Ich habe bereits oben die Gründe benannt, weshalb im Modellbau die Voraussetzungen für den Einsatz einfacher Düsen mit p_k- Überschreitung schon recht selten gegeben sind. Modelldampfturbinen bei denen sich die Verwendung von erweiterten Düsen als notwendig erweist, würden demnach einer Größenordnung  angehören, die über die üblichen Dimensionen des Modellbaus hinausgeht.

Bevor wir uns näher mit den erweiterten Düsen beschäftigen, betrachten wir nochmals die Zeichnung aus dem Beitrag ,,Schiffs-Dampfturbinen", mit ihrer Darstellung der Kurvenverläufe von Druck p und Geschwindigkeit c, in Abhängigkeit vom Anfangsdruck p₁ und der Düsenform (Bild 25).
Wir erinnern uns, dass vom Eingang einer Düse bis zu ihrem kleinsten Querschnitt F_min  der Anfangsdruck p₁ nur maximal bis zum kritischen Druck p_k in Bewegungsenergie umgewandelt werden kann. Auch die Dampfgeschwindigkeit c erreicht hier mit der Schallgeschwindigkeit des Dampfes ihren Maximalwert; die kritische Geschwindigkeit c_k.
Nur wenn in einer einfachen Düse der kritische Druck p_k gleich oder kleiner als der End- bzw. Gegendruck p₀ ist, kann der Dampf in einem wirbelfreien Strahl austreten (Bild 25a); ansonsten expandiert der Dampf hinter dem Düsenausgang schlagartig (Bild 25b).

In der, nach ihren Erfinder benannten Laval-Düse (Bild 25c) können hingegen hohe und höchste Wärmegefälle bzw. Dampfdrücke verarbeitet werden. Bekannter Maßen kann der Dampf in ihrer Erweiterung auf den Enddruck p_o expandieren und mit der entsprechend hohen Geschwindigkeit c₁ in einem wirbelfreien Strahl austreten. Voraussetzung ist allerdings die richtige Dimensionierung der Erweiterung. 
Ist die Erweiterung zu kurz, kann in ihr der Dampf nur bis auf den, ihrem Endquerschnitt entsprechenden Druck p_a expandieren und tritt mit Überdruck aus (p_a > p₀).
Ist die Erweiterung zu lang, also die Düsenmündung zu groß, wird der Dampf an irgendeinem Querschnitt bis auf den entsprechenden Druck expandieren, sich der Dampfstrahl von der Wand ablösen, um sich anschließend in einer Einschnürung wieder auf den Gegendruck p₀ zu verdichten. Dieser Druckanstieg geschieht unter heftiger Wirbelbildung und starken Schwingungen mit Umwandlung in Schallenergie.
Strahlablösung erfolgt auch bei zu großem Erweiterungswinkel γ (Gamma), er sollte 10⁰ nicht überschreiten.
Die Länge der Erweiterung l_E ergibt sich aus den Querschnitten F_min und F₁ sowie dem Erweiterungswinkel γ. 

[RonnyM]

...da staunt der Laie...

Georg, du bist unschlagbar.

Grüße Ronny

[Turbo-Georg]

Ronny,
ich freue mich über Deinen Kommentar.
Ich versuche auch weniger leichte Kost für ,,Laien" genießbar zu servieren.

[Turbo-Georg]

Auch in einer erweiterten Düse fließt in der gleichen Zeit durch jeden Querschnitt die gleiche Dampfmenge G_sek.

Als Gleichung:  G_sek =  (F_min • c_k ) : v_k  =  (F₁ • c₁) : v₁

Wir können also zur Ermittlung der gesuchten Düsenquerschnitte F_min und F₁ wiederum die umgestellte Bernoulli- Gleichung anwenden.
Vorher müssen wir die anderen Größen bestimmen. Wir entnehmen die spezifischen Volumen v in gewohnter Weise einem h-s - Diagramm und errechnen die Dampfgeschwindigkeiten c aus dem jeweiligen Wärmegefälle h.

c_x = 91,5 • √ h_x.

Zuerst zeichnen wir im h-s- Diagramm zwischen dem Anfangsdruck p₁ und dem Enddruck p₀ die senkrechte Linie des theoretischen Wärmegefälles h_t.
Anschließend bestimmen wir den Punkt des kritischen Drucks p_k und entnehmen die Höhe des kritischen Gefälles h_k.
Wir setzen dabei, ggf. auch bei den vergleichsweise niedrigen Überhitzungs-Temperaturen des Modellbaus, den Multiplikator für Sattdampf (0,58) ein (siehe u.a. in Bild 23).

Also:  p_k = p₁ • 0,58.

Wir können nun mit der obigen Gleichung die Geschwindigkeiten errechnen.

c₁ = 91,5 • √ h_t      und     c_k = 91,5 • √ h_k

Wir errechnen den Düsenverlust.
Für den Düsenkoeffizienten setzen wir den bewährten Erfahrungswert φ = 0,93 aus unseren Übungen ein.

h_d = (1 - φ²) • h_t

und finden den Punkt A₁ der Expansionslinie.
An der Expansionslinie finden wir auf den Drucklinien p_k und p₀ (A₁) die entsprechenden Werte der spezifischen Volumen v_k und v₁.
Wir haben nunmehr alle Werte zur Berechnung der gesuchten Querschnittsflächen F_min und F₁ bestimmt.
Wir stellen hierzu die Bernoulli- Gleichung nach F (mm²) um.

F_x = (G_sek • v_x • 1000) : c_x  (mm²)
                                                                             
Demnach:

F_min = (G_sek • v_k • 1000) : c  (mm²)     und      F₁ = (G_sek • v₁ • 1000) : c₁ (mm²)         
                                                                                                                                                               
Dabei sind wie oben:

v₁ (m³/ kg) = spez. Volumen am Düsenaustritt (Punkt A₁),
v_k (m³/kg) = spez. Volumen bei kritischem Druck p_k,
c₁ (m/s) = Dampf-Geschwindigkeit am Düsenaustritt,
c_k (m/s) = kritische Dampf-Geschwindigkeit.

Bei Düsen mit rundem Querschnitt ermitteln wir zuerst die Durchmesser D_min und D₁ aus den beiden Querschnittsflächen F_min und F₁ mit der Gleichung:

D_x = √ [(F_x • 4) : π]
                                                                           
Die Länge der Düsen-Erweiterung l_E  ergibt sich dann aus:

l_E = (D₁ - D_min) : (2 • tan γ / 2)

und bei einem allgemein üblichen Erweiterungswinkel γ = 10⁰

l_E = (D₁ - D_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (D₁ - D_min) :  0,175.

Wir geben jedoch rechteckigen Düsenkanälen den Vorzug, denn bei den doch recht kleinen Querschnitten passt sich ihr Dampfstrahl optimaler an die ebenfalls rechteckigen Schaufelkanäle an und füllt sie besser aus.
In der Regel wird hierbei bereits vorher die Düsenkanalhöhe a entsprechend der Schaufelkanalhöhe (Schaufellänge l) festgelegt. Bei unseren o.a. Beispielen ist die kleinstmögliche Schaufellänge l = 2,5 mm und somit die Düsenkanalhöhe a = 2 mm.

Die entsprechende Düsenkanalbreite  an der engsten Stelle ist dann,

b_min = F_min : a

und an der weitesten Stelle,

b₁ = F₁ : a.

Die Länge der Erweiterung l_E berechnet sich damit aus:

l_E = (b₁ - b_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (b₁ - b_min) :  0,175.

[Captain Hans]

Hallo Georg

möchte mich hier sehr herzlich für die vielen erste Klasse Beiträge bedanken.
Die langen ja für eine Diplomarbeit
Ich hoffe dir geht es gut?

liebe Grüße aus Costa Rica

Hans