Berechnung von Modelldampfturbinen

[Turbo-Georg]

Gerne, Hans.

Mir geht es soweit gut und ich werde versuchen weiter interessante Fachbeiträge einzubringen.

[Turbo-Georg]

Berechnungsbeispiel
Wir bestimmen die Abmessungen der erforderlichen erweiterten Düse zum Betrieb unserer einstufigen Modelldampfturbine (... erstes Berechnungsbeispiel) bei vollem Kesseldruck von ca. 2,5 bar (3,5 at_a), in der Hoffnung auf eine deutliche Leistungserhöhung. 

Wir legen fest:
Einstufige Gleichdruck-Modell-Dampfturbine mit erweiterter Düse.
Betriebsdruck p₁ = 3,5 at_a (Sattdampf, x =1),
Gegendruck p₀ = 1 at_a (Auspuffbetrieb).
Drehzahl n = 20.000 ¹/min,
Laufrad-Durchmesser 80 mm,
Wir übernehmen zum besseren Vergleich auch wieder die sekündliche Dampfmenge der einstufigen Modelldampfturbine:

G_sek = 0,48 g/s.

Wir gehen in der oben beschriebenen Reihenfolge vor, zeichnen zuerst im h-s- Diagramm (Bild 26) die Senkrechte des theoretischen Wärmegefälles h_t zwischen dem Anfangsdruck p₁ und dem Enddruck p₀ und ermitteln:

h_t = 51 kcal/kg.

Wir berechnen den kritischen Druck

p_k = p₁ • 0,58 = 3,5 • 0,58 = 2,03 at_a

und finden das kritische Wärmegefälle

h_k = 23 kcal/kg.

Wir errechnen bei einem Düsenkoeffizienten φ = 0,93 einen Düsenverlust von:

h_d = (1 - φ²) • h_t = (1- 0,865) • 51 = 0,135 • 51 ≈ 6,9 kcal/kg

und finden den Punkt A₁ der Expansionslinie.

Wir ermitteln die kritische Geschwindigkeit

c_k = 91,5 • √ h_k = 91,5 • 4,79  ≈ 439 m/s.

Bei der Ermittlung der Düsen-Austrittsgeschwindigkeit c₁ können wir allerdings nicht wie oben vereinfacht dargestellt, von verlustfreier Strömung ausgehen sondern setzen in die Gleichung den Düsenkoeffizienten φ = 0,93 ein. Also:

c₁ = (91,5 • √ h_t) • φ = (91,5 • √ 51) • 0,93 = (91,5 • 7,14) • 0,93 = 653 • 0.93 = 608 m/s

Wir entnehmen dem h-s- Diagramm an den Drucklinien p_k und p₀ (A₁) die entsprechenden Werte der spezifischen Volumen*.

v_k = 0,88 m³/kg

v₁ = 1,63 m³/kg

*) Ich benutze hierfür ein etwas genaueres p-v-Diagramm.
(...auf Wunsch als Kopie erhältlich!)

Die gesuchten Querschnittsflächen F_min und F₁ sind somit:

F_min = (G_sek • v_k • 1000) : c_k = (0,48 • 0,88 • 1000)  : 439 =  422,4 : 439 = 0,96 mm²   

und     

F₁ = (G_sek • v₁ • 1000) : c₁ = (0,48 • 1,63 • 1000) : 608 = 782 : 608 = 1,29 mm²         
                                                                                                                                                               
Bei einer vorgegebenen Düsenkanalhöhe a = 2 mm sind die entsprechenden Düsenkanalbreiten:
An der engsten Stelle

b_min = F_min : a =  0,96 : 2 = 0,48 ≈ 0,5 mm

und an der weitesten Stelle,

b₁ = F₁ : a = 1,29 : 2 = 0,645 ≈ 0,65 mm.

Die Länge der Erweiterung l_E ist damit:

l_E = (b₁ - b_min) : (2 • tan 5⁰)  =  (0,65 - 0,5) : 0,175 = 0,15 : 0,175 = 0,857 ≈ 0,86 mm.

[Turbo-Georg]

Ich habe beim letzten Berechnungsbeispiel bewusst auf eine Kommentierung verzichtet, damit Leser, die sich intensiver mit dem Thema befassen, ein eigenes Urteil über die Ergebnisse bilden.
Eigentlich wollte ich nur rechnerisch die obige Feststellung untermauern, dass schnell die Grenze des Machbaren erreicht wird.
Wenn wir davon ausgehen, dass die Breite des Dampfstrahls mindestens einen Schaufelkanal füllen soll, so bezieht sich diese Aussage nicht nur auf Düsen mit den o.a. Abmessungen, sondern auch auf die entsprechende Beschaufelung des Laufrades.

Beim obigen Beispiel ergibt sich für das Laufrad von 80 mm Durchmesser bei 20.000 ¹/min eine Umfangsgeschwindigkeit von u = 80 m/s.
Damit ist das Verhältnis u/c₁ = 80 : 608 = 0,13.

Betrachten wir die Kurven in Bild 14, so erkennen wir, dass dieses Verhältnis für eine einstufige Modelldampfturbine mit erweiterter Düse einen Wirkungsgrad η ≈ 0,3 erwarten lässt.
Unter den gegebenen Umständen ist der günstigste Wirkungsgrad mit η ≈ 0,42 nur mit zwei Geschwindigkeitsstufen erreichbar.
Bei drei Stufen ist keine weitere Verbesserung des Wirkungsgrades zu erkennen.
Diese Aussagen sind nur überschlägig, wer es genauer wünscht, sollte einen Geschwindigkeitsplan zeichnen.
Für eine überschlägige Berechnung der zu erwartenden Leistungen reicht die Genauigkeit aber aus.
Wir errechnen hierzu die inneren Wärmegefälle mit der Gleichung h_i = h_t • η.

Einstufig: h_i  = 51 • 0,3 = 15,3 kcal/kg.

Zweistufig: hi  = 51 • 0,42 = 21,4 kcal/kg._i

Der spezifische Dampfverbrauch d_e ist demnach:

Einstufig: d_e = 860 : 15,3 ≈ 56 kg/kW.

Zweistufig: d_e = 860 : 21,4 ≈ 40 kg/kW.

Die in etwa zu erwartenden Leistungen sind:

Einstufig: N_i = (G_sek • 3600) : d_e = (0,48 ∙ 3600) : 56 = 1728 : 56 = 30,8  ≈ 30 Watt.

Zweistufig: N_i = (G_sek • 3600) : d_e = (0,48 ∙ 3600) : 40 = 1728 : 40 = 43,2  ≈ 43 Watt.

Nach unseren zwischenzeitlich gewonnenen Erkenntnissen sind aber Leistungen dieser Größenordnung bei zweistufigen Modelldampfturbinen auch mit einfachen Düsen und
p_k - Überschreitung mit deutlich besserem Wirkungsgrad zu erzielen.

Trotzdem zum Abschluss noch ein Hinweis zur Gestaltung von Dampfdüsen.

Durch den Düsenwinkel α₁ entsteht an den Düsenkanälen von Dampfturbinen unabhängig von der Bauform immer ein Schrägabschnitt.
Bild 27 zeigt sowohl den Schrägabschnitt einer einfachen Düse, als auch den einer erweiterten Düse (Laval- Düse).
Im Sinne einer besseren Strahlführung ist es angebracht den jeweiligen Ausgangsquerschnitt nicht unmittelbar an den Zwischenspalt zu legen. Das betrifft bei einfachen Düsen, besonders bei denen mit p_k-Überschreitung, den Querschnitt F_min und bei erweiterten Düsen den Querschnitt F₁.
In beiden Fällen wird der jeweilige Endquerschnitt durch den Schrägabschnitt vervollständigt und die Austrittskanten verlaufen parallel zum Düsenwinkel α₁.
Ist bei einfachen Düsen der kritische Druck p_k gleich oder kleiner als der Endruck p₀ bzw.  entspricht bei erweiterten Düsen der Endquerschnitt F₁ dem Enddruck p₀, tritt der Dampfstrahl in Richtung der Düsenachse aus, ohne durch den Schrägabschnitt in irgendeiner Form beeinflusst zu werden.